Tentativa ao terceiro problema A própria competição (que encerra todos os competidores) é clique, pois: 1) Há alguns competidores amigos; 2) A amizade é mútua, então, há pelo menos dois amigos na competição. No conjunto clique particular não há amigos, haja vista que a amizade é mútua, e, assim, num conjunto que contém dois amigos como subconjunto, sempre esses amigos existirão. Clique particular também pode ser o conjunto vazio. Pelo primeiro parágrafo e a afirmação de que na competição o maior tamanho de um clique é par, então, a competição possui um número par de jogadores. Com as afirmações acima, provar que: o conjunto competição pode ser divido em duas partes tais que número de jogadores de uma dessas partes (que encerra dois amigos no mínimo) é igual ao número de jogadores da outra parte. Ora, isso já foi provado acima, do 1º parágrafo ao 3º, haja vista que chegamos à conclusão que na competição há número par de jogadores, com no mínimo dois amigos em toda a competição, e, portanto, uma metade que contém esses dois amigos pode ir a uma sala e a outra metade para outra, não importando saber se essa última metade contém amigos ou não, já que ela será sempre clique, pela definição particular ou genérica de clique.Para: obm-l@mat.puc-rio.br
De: Carlos Yuzo Shine <cyshine@yahoo.com>
Enviado por: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Data: 25/07/2007 12:08
Assunto: [obm-l] IMO 2007
Saiu agora o primeiro dia, no site do Mathlinks: http://www.mathlinks.ro/resources.php?c=1&cid=16&year=2007
Traduzindo:
1. São dados os números reais a_1, a_2, ..., a_n. Para cada i, 1 <= i <= n, defina
d_i = max{a_j, 1 <= j <= i} - min{a_j, i <= j <= n}.
Seja d = max{d_i, 1 <= i <= n}.
a) Prove que, para todos reais x_1 <= x_2 <= ... <= x_n,
max{ |x_i - a_i|, 1 <= i <= n} >= d/2 (*)
b) Mostre que existem reais x_1 <= x_2 <= ... <= x_n tais que a igualdade em (*) ocorre.
2. Considere cinco pontos A, B, C, D, E tais que ABCD é um paralelogramo e BCED é um quadrilátero cíclico. Seja r uma reta passando por A. Suponha que r corte o interior do segmento DC em F e a reta BC em G. Suponha também que EF = EG = EC. Prove que r é a bissetriz do ângulo DAB.
3. Numa competição de matemática, alguns competidores são amigos. Amizade é sempre mútua. Chame um grupo de competidores de clique se quaisquer dois entre eles são amigos. Em particular, qualquer grupo com menos de dois amigos é um clique. O número de membros de um clique é o seu tamanho.
Dado que, nesta competição, o maior tamanho de um clique é par, prove que os competidores podem ser divididos em duas salas tais que o maior tamanho de um clique em uma sala é igual ao maior tamanho de um clique na outra sala.
[]'s
Shine
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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