Re: RES: [obm-l] Topologia

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Só um comentário:  A demonstração do Arthur é bem mais imediata.
A minha é  do tipo "automatizada",  do tipo gerada por
provadores automáticos de teoremas
(softwares em Prolog/Lisp, que partem dos
axiomas e teoremas conhecidos para chegar aos resultados).   Vale lembrar que
tal tipo de automatismo não consegue demonstrar coisas onde
entra muita intuição (a quantidade de combinações e buscas é muito grande).
Ronaldo.

Artur Costa Steiner wrote:

> Isto vale em todo espaco topologico sim. Basta ver que A e B estao contidos em A U B, o que implica automaticamente que seus interiores estejam contidos no interior de A U B.  Logo int(A) U int(B) estah contido em int(A U B).
> No livro de topologia do Munkres talvez haja algo sobre o problema das argolas, vou dar uma olhada
> .
> Artur
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> nome de ralonso
> Enviada em: quarta-feira, 1 de agosto de 2007 09:11
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Topologia
>
> Olá Kleber:
>  Antes de demostrar, vou mudar um pouco o enunciado para ele
> ficar mais confortável (apenas substituir X por S e e Y por T, X vai
> ser meu espaço topológico).
>   "Sejam S, T contidos em R, S ( diferente de 0 ) e T ( diferente de 0
> ).Mostrar que int ( S ) U int ( T ) está contido em int ( S U T ) "
>
>     Suponho que com  int(S)  vc queira dizer "interior de S" e com
> R você queira dizer conjunto (espaço topológico) dos reais.
>
>    Neste caso, para resolver, é só lembrar a definição de ponto
> interior de um conjunto e aplicar os axiomas da teoria dos conjuntos
> para demonstrar.  Pelo que me lembro, a definição mais geral de ponto
> interior é:
>
>   "Um ponto p é um ponto interior de um conjunto S de um espaço
> topológico X,
> se existe um subconjunto aberto A de S que contém p"
>
>   Substitua agora X por R e A por intervalo aberto.  Agora é preciso
> lembrar antes
> de resolver, que o conjunto S pode ser "qualquer coisa", inclusive um
> conjunto fractal
> como o conjunto de Cantor, com interior vazio.   Estes casos (int (S) e
> int (T) vazios)
> podem ser considerados casos para uma demonstração por casos.
>
>    Por exemplo:  int(S) = O  e int (T) = O  ==>  int (S) U int(T) = O
> que está contido em int (S U T),
> pois O (o conjunto vazio) está contido em qualquer conjunto eu posso
> concluir isso porque o
> enunciado diz  que S U T é diferente de vazio (S != 0 e T != 0)
>
> Agora suponha int(S) != O ==>  existe p em int (S) e existe A contido em
> S, A aberto, tal que p está em A.
>                                          ==> como A está em S então A
> está também em S U T e como A é aberto então
>                                         ==> A também está em int (S U
> T),  note que int (S U T) é uma reunião de conjuntos abertos
>                                        ==>   e que este conjunto  não
> pode ser vazio.
>                                         ==>  A contém p logo p está em
> int(S U T )
>                                         ==> int ( S ) U int ( T ) está
> contido em int ( S U T ) .
>
> Note que aparentemente o resultado é geral e vale para quaisquer espaços
> topológicos.  Ooops... será
> que eu errei algo?  Me corrijam por favor.  Falando em topologia, alguém
> conhece algum livro de topologia
> algébrica que fale sobre quebra-cabeças de argolas?  Daqueles problemas
> de tirar uma argola de dentro de
> outra?
>
> Abraços.
> Ronaldo.
>
> Kleber Bastos wrote:
>
> >  Sejam X, Y contidos em R, X ( diferente de 0 ) e Y ( diferente de 0
> > ). Mostrar que int ( X ) U int ( Y ) está contido em int ( X U Y ) .
> >
> > --
> > Kleber B. Bastos
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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