Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa

["Ralph Teixeira" <ralphct@xxxxxxxxx>]

Acho que a primeira coisa a fazer eh notar que as 3 raizes sao reais! De fato:

 

i) Polinomio de 3o grau, termo principal = 1.x^3: P(-Inf)=-Inf e P(+Inf)=+Inf;

ii) P(-4)=3>0 e P(-2)=-3<0

 

Assim, ha uma raiz real em (-Inf,-4), outra em (-4,-2) e a terceira em (-2,+Inf). Isto dah as 3 raizes reais, entao a gente nao precisa se preocupar com os complexos!

 

Agora a gente em que ver que valores destes intervalos podem, de fato, ser raiz da equacao polinomial P(x)=0.

 

Para tanto, perguntamos -- para que valores de x tem-se (x+1)(x+3)(x+5)/((x+2)(x+4))<0 ? Dada um solucao x=a desta inequacao, tem um k que faz a ser raiz daquele polinomio (qual?); e vice-versa, se tem um k positivo tal que a eh raiz do polinomio, entao a satisfaz esta inequacao!

 

Resposta final: (-Inf,-5) U (-4,-3) U (-2,-1).

 

2008/5/9 J. R. Smolka <smolka@xxxxxxxxxxxx>:

Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado.

Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geométrico  das raízes de P(x)=0 para todos os valores possíveis de k.

Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que implica que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em função de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as expressões parecem intratáveis.

Alguma outra idéia?

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J. R. Smolka