Re: A primeira fase tava bem difícil!

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

    Acho que 5^1999 tem 1398 digitos, e não 1399. Pois temos:
log(5)=0,698970004336 (calculadora).
Portanto, log(5^1999) = 1999*log(5) =  1397,241038668.
    Embora essa conta nao tenha precisao total, podemos ter certeza que 1397
< log(5^1999) < 1398.
Portanto, 10^1397 < 5^1999 < 10^1398. Mas 10^1398 é o menor número de 1399
algarismos, e 10^1397 eh o menor com 1398 algarismos.  Portanto 5^1999 tem
exatos 1398 algarismos.
    Com o mesmo raciocinio conclui-se que 2^1999 tem 602 algarismos. Logo a
resposta correta seria 2000.
    Abracos,
    Marcio


-----Original Message-----
From: Eduardo Casagrande Stabel <duda@hotnet.net>
To: obm-rj@mat.puc-rio.br <obm-rj@mat.puc-rio.br>
Date: Domingo, 13 de Junho de 1999 13:48
Subject: Re: A primeira fase tava bem difícil!


>O que aparentemente parece ser verdade, não é: pois, posto no Ubasic,
programa que calcula com variaveis de centenas de digitos:
>2^1999 tem 602 digitos
>5^1999 tem 1399 digitos
>Somando temos 2001. Isso se explica pela falta de precisão do seu log2. Mas
ainda acho que essa questão não é de olimpíada, ainda mais de primeira
fase...
>
>----- Original Message -----
>From: Alexandre Stauffer <diversos@iname.com>
>To: <obm-rj@mat.puc-rio.br>
>Sent: Sunday, June 13, 1999 10:56 AM
>Subject: Re: A primeira fase tava bem difícil!
>
>
>> A vigésima quarta questão é aquela do 2^1999 e 5^1999? Se for, não é
>> impossível: basta observar que
>>
>> 2^1, 2^2 e 2^3 têm um único dígito cada
>> 2^4, 2^5 e 2^6 têm dois dígitos cada
>> 2^7, 2^8 e 2^9 têm três dígitos cada
>Esse seu raciocínio não esta certo, pois 2^10, 2^11, 2^12 e 2^13
>tem todos 4 digitos.
>
>Se voce souber que LOG 2 (logaritmo decimal) = 0,3
>(aproximadamente) voce mata a questao. O numero de digitos de
>um numero e a parte inteira do logaritmo decimal mais um.....
>
>[Log 2^1999] + 1 = [1999 * log2] +1  = 599 + 1 = 600
>[Log 5^1999] + 1 = [1999 * Log (10/2)] + 1 = [1999 * (Log10 -
>Log2)] +1 =  [1999 * (1 - 0,3)] + 1 = 1399 + 1 = 1400.
>
>A sua conclusão final estava certa.... 2000
>
>
>