|
Oi, Korshinói:
1)Para os inteiros positivos x e y é verdadeira a igualdade
3x^2+x=4y^2+y. Mostre que x-y é um quadrado perfeito.
Esse já apareceu aqui na lista. Uma solução detalhada
é:
Inicialmente, temos que x > y, pois se x <= y, então 3x^2 + x <=
3y^2 + y < 4y^2 + y ==> contradição
Suponhamos que MDC(x,y) = d.
Então: x = a*d e y = b*d com MDC(a,b) = 1
Como x > y, temos que a > b ==> (a - b) <> 0
3a^2d^2 + ad = 4b^2d^2 + bd ==>
3a^2d + a = 4b^2d + b ==>
3a^2d - 3b^2d + a - b = b^2d ==>
3d(a - b)(a + b) + (a - b) = b^2d ==>
(a - b)[3d(a + b) + 1] = b^2d ==>
(a - b) divide b^2d
Mas MDC(a - b,b^2) = 1 ==>
(a - b) divide d ==>
d = k(a - b) ==>
(a - b)[3k(a - b)(a + b) + 1] = b^2k(a - b) ==>
3k(a^2 - b^2) + 1 = b^2k ==>
k(4b^2 - 3a^2) = 1 ==>
k divide 1 ==>
k = 1 ==>
d = a - b
Mas nesse caso:
x = da = (a - b)a = a^2 - ab
y = db = (a - b)b = ab - b^2
Assim:
x - y = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 ==> quadrado
perfeito. ***************
2) Determine o número primo p para o qual o número
1+p+p^2+p^3+p^4 é um quadrado perfeito.
Ou seja, temos que determinar um primo p tal
que:
1+p+p^2+p^3+p^4 = n^2, onde n é inteiro.
Após várias tentativas frustradas, envolvendo
fatorações, congruências e o escambau, eu cheguei a uma manipulação algébrica
útil:
1+p+p^2+p^3+p^4 = n^2 ==>
1+p+2p^2+p^3+p^4 = n^2+p^2 ==>
1+2p^2+p^4+p(1+p^2) = n^2 + p^2 ==>
(1+p^2)^2 + p(1+p^2) - (n^2+p^2) = 0
==>
Equação do 2o. grau em (1+p^2), da qual buscamos
raízes inteiras positivas.
Assim, a primeira condição necessária é que Delta
seja um quadrado perfeito.
Delta = p^2 + 4(n^2 + p^2) = 5p^2 + 4n^2 = m^2,
para algum inteiro m, que podemos supor positivo ==>
5p^2 = m^2 - 4n^2 = (m - 2n)(m + 2n)
==>
(m - 2n)(m + 2n) tem 3 fatores primos (5, p e p)
==>
Como 0 < m - 2n < m + 2n, precisamos
considerar apenas os 3 casos seguintes:
1) m - 2n = 1 e m + 2n = 5p^2
2) m - 2n = 5 e m + 2n = p^2
3) m - 2n = p e m + 2n = 5p
1) m - 2n = 1 e m + 2n = 5p^2
==>
m = (5p^2 + 1)/2 e n = (5p^2 - 1)/4
==>
n^2 = (25p^4 - 10p^2 + 1)/16 = 1 + p + p^2 + p^3 +
p^4 ==>
9p^4 - 16p^3 - 26p^2 -16p - 15 = 0
==>
a única raiz inteira positiva é p = 3
2) m - 2n = 5 e m + 2n = p^2
==>
m = (p^2 + 5)/2 e n = (p^2 - 5)/4
==>
n^2 = (p^4 - 10p^2 + 25)/16 = 1 + p + p^2 + p^3 +
p^4 ==>
15p^4 + 16p^3 +26p^2 + 16p - 9 = 0
==>
não tem raízes inteiras positivas
3) m - 2n = p e m + 2n = 5p
==>
m = 3p e n = p ==>
n^2 = p^2 = 1 + p + p^2 + p^3 + p^4
==>
1 + p + p^3 + p^4 = 0 ==>
contradição
Logo, o único primo p tal que:
1+p+p^2+p^3+p^4 = n^2, onde n é
inteiro
é p = 3, o que resulta em n = 11.
Um abraço,
Claudio.
|