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Re: [obm-l] Uma PAG



Title:
Oi, Vitorio,

Embora os colegas já tenham respondido exaustivamente sua questão "PAG", eu gostaria de enfatizar dois aspectos de questões desta natureza:
- o primeiro é arranjar algum artifício que permita a obtenção de expressões compactas para os somatórios;
- o segundo, ter cuidado para saber em que condições a mágica feita no item anterior é válida (especialmente se são somatórios infinitos)...

Eu prefiro indicar, sempre que possível, uma solução aderente ao ensino médio usual, como a que se segue, que não usa "derivada"....  Multiplique por x a expressão Sn:

(1)     Sn =  1  +  2x  +  3x^2 + ... + (n-1)x^(n-2) + nx^(n-1)
(2)     xSn = x + 2x^2 + 3x^3 + ...+  (n-1)x^(n-1) +  nx^n

Subtraindo (1) - (2) temos:
(1-x) Sn = [1 +  x + x^2 + ... +  x^n] -  nx^n
onde a expressão entre [] é a expressão da soma dos termos de uma PG simples de razão x (cuidado quando x = 1!).
(1-x) Sn = [1-x^(n+1)]/(1-x) -  n.x^n
Ou seja, 
Sn = [1-x^(n+1)]/(1-x)^2 - n(x^n)/(1-x)   (se não bobeei nas contas...)

Mas note que na passagem da subtração (1) - (2) , caso x = 1 o artifício "fica imprestável".  Então, olhando a expressão original (para x =1 ) você naturalmente obtém  a soma dos n primeiros números naturais que, obviamente, vale n(n+1)/2

Eis 3 exemplos de somatórios que você pode resolver assim, sem apelar para derivadas...:
a) somatórios que são a própria soma dos termos de uma PG (aliás esta é a forma que uso para justificar a formuleta da soma dos termos de uma PG...);
b) S = 1.2x + 2.3.x^2 + 3.4.x^2 + 4.5.x^4 + .... +  n(n+1).x^n
c) S = x + 2^2.x + 3^2.x^2 + 4^2.x^3 + .... +  (n+1)^2.x^n

Outra questão que você postou sobre trinômios do segundo grau (parabolinhas) tangentes, também admite solução sem derivadas, embora o conceito de tangência sem o uso de derivadas apele para um "quê" de intuição.  Nada contra..., quando a turma de oitava série consegue fazer o problema com uma solução adequada a eles (aliás, agora é nona série!).

Abraços,
Nehab

PS:
Acho que os caras do MEC não conhecem o zero, pois seria tão mais simples chamar o CA de ano zero e não fazer a bagunça que fizeram obrigando todas as editoras a apenas mudar as capas dos livros.... somando 1....  Bolas, eles não participam de nossa lista de matemática e convenhamos, contar de 0 a 8 é complicado.... :-)    Isto foi off-topic pra caramba !!! Mas não resisti ! 

vitoriogauss escreveu:
JOOT5I$379338DEE2ECA64200E99747F106D8BB@uol.com.br" type="cite">
Ok... valeu ..
 
Abraços...
 
Sim, está correto desde que x nao seja 1.
> Voce pode fazer tanto derivando a soma de uma PG, ou utilizando os metodos
> de resolucao de PAG's.
>
> Em 20/09/07, vitoriogauss escreveu:
> >
> > * *Calcule a soma *Sn=1+2x+3x^2+...+nx^n-1*
> >
> > Eu cheguei ao seguinte resultado:
> >
> > Sn= (1 - (n+1)x^n + nx^n+1 ) / ( 1 - x )^2
> >
> > Estou correto????
> >
> >
> > **
> >
>
>
>
> --
> Samir Rodrigues
>
Vitório Gauss

========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================