Re: [obm-l] Derivada Parcial - O retorno!!!

[Arlane Manoel S Silva <arlan@xxxxxx>]

    Vou tentar responder... no ítem (a), vou supor que vc conhece a  
definição de função contínua com épsilons e deltas. A afirmação é que  
f é contínua em todo o plano. Comece notando que quando (x,y) é  
diferente de (0,0) temos um quociente
bem definido, isto é, sqrt(x^2+y^2) existe e é contínua e mais, a  
função x.y é um polinômio (logo contínua) e f é um quociente entre  
funções contínuas, de node segue que f é contínua. Resta ver o que  
acontece na origem.
    Dado epsilon>0 tome delta< 2.epsilon (este valor foi encontrado durante as
contas. Já vou mostrar!). Assim, se |(x,y)-(0,0)|< delta precisamos avaliar
   |f(x,y)-f(0,0)|

   Antes disto, note que (x-y)^2>=0. Mas
  (x-y)^2=x^2-2xy+y^2>=0 => xy<= (x^2+y^2)/2 para quaisquer x,y reais, e
|(x,y)-(0,0)|=|(x,y)|=sqrt(x^2+y^2) . Com isso,

  |f(x,y)-f(0,0)|=|(xy)/sqrt(x^2+y^2)|<= |(x^2+y^2)/2sqrt(x^2+y^2)|
       = |sqrt(x^2+y^2)|/2 <= delta/2 < epsilon.
   Logo f também é contínua na origem. Isto fecha a primeira afirmação.

  Quanto as outras, é possível calcular as derivadas parciais fora da  
origem através da regra da cadeia (e aí é só contas!), já na origem vc  
usa a definição
de derivada parcial. Os outros ítens seguem a mesma idéia. Tô um pouco  
cansado agora; se não conseguir manda dinôvo...

Citando Anselmo Sousa <anselmo_rj@hotmail.com>:

> Bom, apesar de ainda ter dúvida na outra questão, segue mais uma que  
>  espero  elucidar alguns pontos dessa fascinante parte do Cálculo de  
>  vez.
>
> Essa é em homenagem a professora Carla, lá da E.N.C.E.
>
> [Questão] Considere a seguinte função:
>
>
>            |   (xy)/sqrt(x^2+y^2)   se (x,y)=!(0,0)
> f(x,y)= <
>            |   0                            se(x,y)=(0,0)
>
> a) determine em que pontos f é contínua;
>
> b) determine f_x(x,y), f_y(x,y) e seus domínios;
>
> c) determine f_xy(-1,2).
>
>
>
> algumas notações:
>
> f_x é a derivada parcial de f em relação a x. Do mesmo modo f_y é a   
> derivada parcial de f em relação a y.
> f_xy é a derivada parcial de f_y em relação a x.
>
> Colegas, por favor enviem solução completa, peço encarecidamente,   
> para que não fique dúvidas.
>
> um grande abraço, espero que não esteja abusando.
>
> "O muito estudar é enfado para a carne."
>                                                (Rei Slomão)
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Arlane Manoel S Silva
   MAT-IME-USP


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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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