Extensões quadráticas de corpos finitos

Sejam p primo e d um inteiro que não seja quadrado perfeito. O anel $({\mathbb{Z} }/(p))[\sqrt d]$ é o conjunto

$$\{a + b\sqrt d,\,\, a,b \in {\mathbb{Z} }/(p)\}$$

onde
$$\begin{align}(a+b\sqrt d) + (\tilde a+\tilde b\sqrt d) &= (a+\tilde a) + (b+\til... ...= (a\tilde a + db\tilde b) + (a\tilde b + \tilde a b)\sqrt d. \notag \end{align}$$
Por definição,

$$a+b\sqrt d = \tilde a + \tilde b \sqrt d \Leftrightarrow a=\tilde a, b = \tilde b.$$

Como grupo aditivo, $({\mathbb{Z} }/(p))[\sqrt d] = {\mathbb{Z} }/(p) \times {\mathbb{Z} }/(p)$. Vamos investigar a estrutura multiplicativa de $({\mathbb{Z} }/(p))[\sqrt d]$. Observemos inicialmente que, se d é um quadrado módulo pentão $({\mathbb{Z} }/(p))[\sqrt d]$ não pode ser um corpo, pois se a² = dem ${\mathbb{Z} }/(p)$ então $(a + \sqrt{d})(a - \sqrt{d}) = 0$ em $({\mathbb{Z} }/(p))[\sqrt d]$. A próxima proposição é uma recíproca deste fato:

Proposição 2.21: Se $(\frac dp) = -1$ então $({\mathbb{Z} }/(p))[\sqrt d]$ é um corpo.

Dem: De fato, se $(a,b) \ne (0,0)$, $(a+b\sqrt d)^{-1} = (a-b\sqrt d)/(a^2-db^2)$. Temos que $a^2-db^2 \in ({\mathbb{Z} }/(p))^*$, pois d não é quadrado mod p, logo, se $b \ne 0$, a²-db²=0, que equivale a d=(a/b)² seria uma contradição e, se b=0, $a^2-db^2 = a^2 \ne 0$pois $(a,b) \ne (0,0) \Rightarrow a\ne 0 \Rightarrow a^2 \ne 0$.          $\blacksquare$