Re: é simples ?

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Carlos,

Seja A = { 1,2, ... ,N}.  Uma Funcao de "A" em "A"  que
atende as  especificacoes de sua primeira questao pode ser
construida como  segue:

1 - Toma-se um elemento qualquer "x" de "A", a abscissa, e,
a seguir, escolhe-se um outro elemento de "A", "y", a
ordenada, tal que " y # x "

2 - Repete-se a operacao acima para os "N" elementos de A

A operacao "1" pode ser feita de "N-1" maneiras, dado que
para qualquer elemento de "A" existem "N-1" outros que
poderao ser tomados por ordenada.  Como devemos repetir esta
operacao "N" vezes, o Principio de Contagem usado na Analise
Combinatoria nos permite dar por resposta:

R = (N-1)^N

A segunda questao e mais interessante ... Uma de bijecao "B"
de "A" em "A" tal que não ocorre B(x) = x, para qualquer x
pertencente a A, e chmada de um DESARRANJO. O Numero de
dessaranjos que podemos fazer com N elementos e, por
definicao, o SUBFATORIAL de N.

O subfatoria de N e representado por "!N", vale dizer,
contrariamente a notacao convencional do fatorial, no
subfatorial o sinal de exclamacao fica do lado esquerdo do
numero. Prova-se que:

! N = (N !) * Si{ 0,N : ( (-1)^i )/i ! ) }

Onde por Si { 0,N : F(i) } estou representando o somatorio
de F(i), "i" variando de "0" ate "N". A titulo de
exemplificacao :

! 3 = ( 3! ) * Si{ 0,3 : ( (-1)^i)/i ! }
! 3 = (1*2*3) * ( 1  -   1   +   1/2   -   1/3 ) 
! 3 = 2

A partir da definicao de subfatorial, que e o numero de
desarranjos que podemos fazer com N elementos, voce pode
provar facilmento que :

! N = [ N ! / e ]

Onde " e" e a constante de Euler, base dos logaritmos
Neperianos e [ ] e a funcao "Maximo Inteiro".  Como ultimo
detalhe : o subfatorial pode ser expresso como um numero
fixo de termos da conhecida serie hipergeometrica e
apresenta notaveis propriedades recurssivas.


*** ~~~ ***

A sua questao geometrica, para quem conhece o Teorema de
Dandelin, e simples, não obstante uma justificacao
geometrica rigorosa exija, a titulo de clareza, uma
diagramacao adequada. A "figura oval" e, de fato, uma
elipse. Para voce ver isso siga os passos basicos usados na
demonstracao doeste teorema que mencionei :

1 - Inscreva uma esfera de raio igual ao raio do cilindro
acima do plano, tangenciando-o

2 - Proceda de forma semelhante com uma esfera identica
abaixo do plano.

Como as esferas tem raio igual ao raio do cilindro, elas
irao tangengia-lo por um circulo maximo. Marque estes
circulos maximos.

3 - Tome um ponto qualquer da figura e ligue-o aos pontos
onde as esferas tangenciam o plano.

4 - trace pelo ponto referenciado no item acima uma
perpendicular aos planos que contem os circulos maximos  a
que ja nos reportamos  e que tambem esteja contida na
superficie do cilindro.

Aqui voce tem todo o material basico para a demonstracao.
Mostre que para qualquer ponto da figura, a soma das
distancias aos pontos em que as esferas tangenciam o plano e
igual a distancia, constante, entre os plano que contem os
circulos maximos formados pela interseccao entre as esferas
e o cilindro.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
4,0900,190100

On Tue, 18 Jan 2000 13:52:03 -0200
Carlos Gomes <sebs@samnet.com.br> wrote:
>              Alô pessoal, a qui vai um problema
>interessante:
>
>         Alô pessoal, aqui vai um problema interessante:
>
>     Seja A um conjunto finito com n elementos. Quantas
>são as funçoes f
>de A em A para as quais a equação f(x)=x não tem solução?
>Quantas são as
>funçoes bijetoras para as quais a equação f(x)=x não tem
>solução?
>

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