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Re: ajuda-demonstração



Sendo as amplitudes de um triângulo. a', b', c'. Temos que observar que a soma desta PA, no caso do referido problema tem que ser 180 graus ou pi radianos.
 
a'+b'+c' = 180
 
S3 = 3(a' + c')/2 = 180
 
3(a'+c') = 360 => a'+c' = 120
 
Proposta: o termo médio é a média aritmética dos outros dois.
 
b' = 120/2 => b' = 60
 
Sendo as halturas de um triângulo, ha, hb, hc temos que observar que as alturas são perpendiculares aos seus lados opostos.
 
Pela teoria dos senos temos:
 
hc = a * sen 60
ha = c * sen 60
Sendo PA como o enunciado disse temos:
 
hb = (a * sen 60 + c * sen 60)/2
 
hb = sen 60 (a + c)/2
 
hc - hb = a * sen 60 - sen 60 (a + c)/2
 
hc - hb = (sen 60 * a  - sen 60 * c)/2 = hb - ha = sen 60 (a+c)/2 - a sen 60 = (sen 60 * c  - sen 60 * a)/2
 
sen 60 * a - sen 60 * c = sen 60 *c - sen 60 *a
2sen 60 * a - 2 sen 60 * c =  0
2 sen 60 * a = 2 sen 60 * c de fato:
a = c
 
 
Observe que se a = c temos que ha = hb = hc.
Então: Usando o simples teorema dos senos temos:
 
 
c/sen c' = b / sen 60  = sen 60 = sen a' => 60 = a', já que outros valores não o satisfaria.
 
Substituindo em a'+c' = 120
temos: c' = 60
 
 
Assim, prova-se que o triângulo é realmente equilátero.
 
 
 
 
 
 
 
 
-----Mensagem original-----
De: José Fabrício Maia <rhr832@secrel.com.br>
Para: discussão de problemas <obm-rj@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 2 de Fevereiro de 2000 18:00
Assunto: ajuda-demonstração

Em um triângulo, as amplitudes dos ângulos formam uma P.A. e os comprimentos das alturas também formam uma P.A. Demonstre que o triângulo é equilátero.
 
Agradeço, antecipadamente pelas soluções dos amigos