Re: divisibilidade

[Flavio Borges Botelho <flavio@xxxxxxxxxx>]

Marcelo Souza wrote:

>         Sabemos que a^n+b^n é divisível por a+b se n=ímpar. O caso é óbvio para
> n=3, mas alguém poderia fazer uma demonstração geral?

Não sabia disso! :) Preciso estudar mais :)))

Primeiro um estudo do caso:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
a^5 + b^5 = (a + b)[a^4 - (ba^3) + (a^2 * b^2) - (ab^3) + b^4]
a^7 + b^7 =
(a + b)[a^6 - (ba^5) + (a^4 * b^2) - (a^3 * b^3) + (a^2 * b^4) - (ab^5) + b^6]

Parece que:

a^(2n+1) + b^(2n+1) = (a+b) * Soma de x=0 até '2n' -> [a^(2n-x) * (-b)^x]

Mas tem que provar né? :)

deixa eu tentar isso:

a^5 + b^5 = (a + b)[a^4 - (ba^3) + (a^2 * b^2) - (ab^3) + b^4]
(a^5 + b^5) / (a+b) = a^4 - (ba^3) + (a^2 * b^2) - (ab^3) + b^4
Multiplicando tudo por ab
ab(a^5 + b^5) / (a+b) = ba^5 - (b^2 * a^4) + (a^3 * b^3) - (a^2 * b^4) + ab^5
Comparando com  (a^7 + b^7)
=>(a + b)[a^6 - (ba^5) + (a^4 * b^2) - (a^3 * b^3) + (a^2 * b^4) - (ab^5) + b^6]
hmmm so multipicar aquilo lá em cima por (-1) e adicionar a^6 e b^6

-ab(a^5 + b^5) / (a+b) + a^6 + b^6 = (a^7 + b^7)/(a+b)
-ab(a^5 + b^5) + a^7 + a^6 * b + b^6 * a + b^7 = a^7 + b^7

Entao:
[a^(2n+1) + b^(2n+1)] = [a^(2n-1) + b^(2n-1)](-ab) + (a+b)(a^2n + b^2n)]

Testando para ver se está certo:

[a^(2n-1) + b^(2n-1)](-ab) + (a+b)(a^2n + b^2n)] =
-ba^2n - ab^2n + a^(2n+1) + ab^2n + ba^2n + b^(2n+1)=
 = a^(2n+1) + b^(2n+1)

Como isso funciona para n =1
=>
(a^3 + b^3) = (a + b)(-ab) + (a+b)(a^2 + b^2)    <= a nossa primeira formula ai de
novo :)

Então por indução concluo que funcionará para todos números ímpares :)
Pois
[a^(2n+1) + b^(2n+1)] = [a^(2n-1) + b^(2n-1)](-ab) + (a+b)(a^2n + b^2n)]

a segunda parte obviamente é divísivel por (a+b) pois está multiplicado pelo mesmo,
e a primeira parte nós sabemos que é divisível por (a+b) para 1 e que se é
divisível por (a+b) para n também será  divisível para n+1....

Espero que esteja certo,
A resposta poderia ser bem menor só com o essencial, mas eu acho melhor mostrar
como eu fiz, assim se eu fizer alguma dedução errada, alguem pode apontar para mim
:)

Abraços,
Flávio