Re: Poliedros

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, 4 Feb 2000, Augusto Morgado wrote:

> Vi num livro um exercício sobre um poliedro convexo formado por três
> faces triangulares, uma face quadrangular, uma face pentagonal e duas
> faces hexagonais. Existe um tal poliedro?
> Morgado.

Bela pergunta. Notem que vale a fórmula de Euler. 
Mesmo assim o poliedro não existe.

De fato, duas faces se encontram em no máximo uma aresta.
Como o total de faces é 7, cada face hexagonal deve ser adjacente a todas
as 6 outras. Em particular, as duas faces hexagonais são adjacentes
por uma aresta AB, onde um hexágono é ABCDEF e o outro ABC'D'E'F'.
As outras 5 faces devem ser adjacentes aos dois haxágonos:
mas um triângulo só pode ser adjacente aos dois hexágonos
sendo formado por um vértice comum aos dois hexágonos
e dois vértices vizinhos, um de cada hexágono.
Assim só podem existir 2 triângulos, BCC' e AFF',
contradizendo a hipótese de que existem três faces triangulares.

[]s, N.