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Re: Múltiplos de 3



Oi. Sei que estou "um pouco" atrasado, mas eu fiquei sem ler mensagens desta lista por muito tempo. Peço que mesmo assim dêem uma olhada na minha solução (para a 1a questão).
 
Dividirei o conjunto dos inteiros em 3 partes: o números da forma 3x, 3x+1 e 3x+2
 
Substituindo:
 
(3x)^3 - 3x = 27x^3 - 3x = 3*(9x^3 - x)
(3x + 1)^3 - (3x+1) = 27x^3 + 27x^2 + 6x = 3*(9x^3 + 9x^2 + 2x) 
(3x + 2)^3 - (3x+2) = 27x^3 + 54x^2 + 33x + 6 = 3*(9x^3 +  18x^2 + 11x + 2)
 
Assim, prova-se que a^3 - a é sempre múltiplo de 3, para todo a pertencente ao conjunto dos inteiros, certo?
 

Marcelo Souza wrote:

  
A 1 é fácil. Tente fatorar a expressão pedida

colocando a em evidencia: a(a^2 - 1), fatorando mais ainda a^2 - 1 = (a+1)(a-1) temos: (a-1)a(a+1). Percebeu que eles são consecutivos? Analise os restos da divisão deste número por 3. Quando vc divide um número por 3 ele pode deicar somente 3 restos 0, 1 ou 2. Como eles são consecutivos, eles deixarão restos consecutivos, onde pelo menos um deles, será igual a 0, o que garante divisibilidade por 3 (OK)?

  >From: "Rubens"
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To:
>Subject: Múltiplos de 3
>Date: Mon, 26 Mar 2001 23:50:52 -0300
>
>Uma ajuda:
>
>1)Mostre que a^3 - a é múltiplo de 3, para todo a inteiro.
>
>2) Mostre quer a^3 - b^3 é múltiplo de 3 se, e somente se, a-b é múltiplo de 3.
>
>Obrigado
>
>


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