Re: Sobre o Problema 3N+1

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Rui e Colegas da Lista,
Tudo Legal ?

Eu avancei bastante na compreensao deste problema, desde que o Prof Nicolau 
o apresentou. Mas desde entao não me ocupei mais com ele. Se voce quiser, 
nos podemos trabalhar nele juntos.

Consegui o seguinte :

1) Mapear todos os numeros que com certeza atendem a conjetura, associando a 
cada um uma sequencia finita de numeros naturais.
2) Para cada sequencia, conseguo determinar o expoente ^que faz com que 
S^p(N)=1
3) Associar a este mapeamente uma rede bastante complicada.

Aqui eu parei.

Minha intuicao :

Se existe um numero tal que não existe p com S^p(N)=1, isto implica que as 
sucessivas aplçicaçoes de S conduzirao a uma sequencia infinita. A ideia e 
mostrar que isto e impossivel.

Como fazer esta prova :

Estudando as propriedades topologicas da rede ( voce chama de arvore ).



Eu terminei me desinteressando pela questao, pois me envolvi com outras 
temas tambem emocionantes ( acredito que descobri as colunas ocultas do 
triangulo de Pascal, o que me permite falar em sequencias aritmeticas de 
ordem racional. Isto esta diretamente ligado a serie de euler :

1  +  1/4  +   1/9 + ... = (pi)^2/6

agora entendo que a formulacao correta - Tio Euler nao viu isso - e :

1  +  1/4  +  1/9  +  ... = (1/3!)*(1 - 1/3 + 1/5 ...)*(1  -  1/3  +  1/5 
... ). É o teorema das colunas generalizado.

posso portanto pensar em encontrar o valor de :

1  +  1/2^r  +  1/3^r  + ...

A partir daqui surge a funcao :

F(r) = 1  +  1/2^r  +  1/3^r  + ...

Ora, esta funcao e um plano vertical cortando a funcao mais geral :
F(z) = 1  +  1/2^z  +  1/3^z  + ...

E isto esta ligado a Conjectura de Riemnam. )

Voce deve ser novo na Lista. Nao me lembro de nenhuma mensagem sua 
anteriormente. Se assim for, seja bem vindo.

Eu sou "abandonante" ( realmente : abandonante = abandonando ) de Engenharia 
migrando para Matematica. Se voce quer discutir Matematica, sem frescura e 
estrelismos, vai ser legal a nossa correspondencia.

Um Grande abraco pra voce
Paulo Santa Rita
4,0944,09052001


>From: "Rui Viana" <ruilovlist@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1
>Date: Tue, 08 May 2001 19:43:25 -0300
>
>Oi Paulo,
>
>Eu soh queria dizer que esse problema do 3N+1 eh um dos que mais me fascina
>na matematica. Assim como o ultimo teorema de Fermat, ele tem uma 
>formulacao
>bem simples e ainda estah em aberto. A diferenca eh que esse problema naum
>eh tao famoso quanto o de Fermat e eh isso que me fascina nele.
>Eu realmente naum sei quais as implicacoes matematicas de uma possivel
>solucao ou contra-prova, mas ainda assim de vez em quando eu dou uma 
>pensada
>nele.
>
>A sua ideia eh bem natural , e faz sentido. Resta saber quao dificil saum 
>as
>demonstracoes do buraco. Um outro jeito de olhar eh contruindo uma arvore
>que comeca no 1 e vai descendo assim :
>                1
>                2
>                4
>                8
>                16
>           32        5
>           64        10
>                .....
>
>Dai tentar achar algum padrao na posicao de cada numero..... sei lah...
>
>
>Seria muito legal se a lista se envolvesse nesse problema, apresentando
>material relativo ao problema, ideias, solucoes......
>
>[]'s
>Rui Viana
>
>
>>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Sobre o Problema 3N+1
>>Date: Mon, 07 May 2001 14:10:47
>>
>>Ola Pessoal !
>>
>>Pelo que me lembro, o "problema 3N+1" foi apresentado a esta lista pelo
>>Prof
>>Nicolau. Este problema tambem e conhecido como "problema de Siracura",
>>dentre outras designacoes. Ele pode ser enunciado como segue :
>>
>>Seja F:N -> N uma funcao, tal que
>>F(n) = 3n+1, se "n" e impar
>>F(n) = n/2, se "n" e par.
>>
>>Se definirmos : F^p(n)=F(F(F(F(...(p)...)))), isto e, F^p(n) e a 
>>composicao
>>de F com ela mesma "p" vezes, entao :
>>
>>CONJECTURA : Para todo "n" natural, existe um "p" natural tal que
>>F^p(n)=1.
>>
>>Este conjectura, pelo que sei, esta "em aberto". Muitos Matematicos de
>>Escol
>>tentaram prova-la, sem sucesso. Claramente que isso nao significa que
>>qualquer um de nos tambem nao tera sucesso ...
>>
>>Aqui nos DISCUTIMOS PROBLEMAS. Nao significa que sempre precisamos
>>apresentar uma solucao pronta. Podemos inicia-la, podemos clarificar 
>>alguns
>>aspectos ou apenas apresentar ideias : e a discussao !
>>
>>O problema acima leva-nos a lembrar dos BLACK HOLE ( Buraco Negro ) ou
>>SORVEDOUROS ... Com efeito, se para algum "n" impar aplicarmos F(n)=3n+1 e
>>o
>>resultado por uma potencia de 2, entao a ulterior aplicacao de F(n)=n/2 
>>ira
>>nos conduzir fatalmente a 1. Isto mostra que a sequencia
>>2,4,8,16,...,2^p,... funciona como um BLACK HOLE  ou SORVEDOURO, de forma
>>que podemos refornular a conjectura da seguinte maneira :
>>
>>CONJECTURA1 : Para todo "n" natural, existe um "p" natural tal que
>>F^p(n)=2^r, r um natural qualquer.
>>
>>Quais sao os numeros tais que F(n) = 2^r ?
>>
>>PROPOSICAO : Se F(n)=2^r entao "r" e par e "n" e da forma (4^s - 1)/3.
>>
>>Suponha um natural "n" da forma n=(4^s - 1)/3. Ele e evidentemente impar 
>>e,
>>portanto, F(n)=3n+1=4^s=2^(2s). Por outro lado, se "n" e impar e 3n+1=2^r
>>entao : n=(2^r - 1)/3. Se "r" for impar entao : r=2q+1 e ficara : 
>>n=(2.2^2q
>>- 1 )/3= (2^2q)/3 + (2^2q - 1)/3 um absurdo, pois "n" e natural. Assim, 
>>nao
>>pode ser r=2q+1.
>>
>>Aqui descobrimos algo interessante... Os numeros da forma n=(4^s - 1)/3 
>>sao
>>tais que F(n)=2^r (r=2s) e, reciprocamente, se F(n)=2^r entao
>>n=(4^s - 1)/3 (r=2s). Isto mostra que a sequencia n=(4^s - 1)/3, "DE CERTA
>>FORMA" pode ser vista como "PARALELA" ao SORVEDOURO 2,4,8,16,32,...
>>
>>Pois se "n" nao for da forma "2^r" e tambem nao for da forma (4^s - 1)/3
>>entao, supondo correta a CONJETURA 3N+1, "n" devera necessariamente 
>>assumir
>>a forma (4^s - 1)/3 antes de cair no SORVEDOURO ou BLACK HOLE. Tudo sucede
>>como se a sequencia n=(4^s - 1)/3 fosse um "ESTADO" no qual todo numero
>>natural devera se transformar antes de cair no SORVEDOURO 2,4,8,16,32,...
>>
>>Bom. Ate aqui, o que conseguimos ?  Podemos, sem duvida, reformular a
>>conjectura de Siracusa e apresenta-la na forma :
>>
>>CONJECTURA2:Para todo "n" natural que nao e potencia de 2 e nao e da forma
>>(4^s - 1)/3, existe um "p" natural tal que
>>F^p(n)=2^r, r um natural qualquer.
>>
>>OBS : Pois ja sabemos que 2^r e (4^s - 1)/3 necessariamente sao tais que
>>F^p(n)=1, para algum p.
>>
>>A Imagem de "SEQUENCIAS PARALELAS" pode nos conduzir a belas
>>simplificacoes.
>>Para vermos como e possivel fazermos isso, vamos tentar entender quem
>>desemboca em (4^s - 1)/3.
>>
>>Claramente que sendo (4^s - 1)/3 impar, serao "n" pares que apos F(n) se
>>transformarao em (4^s - 1)/3. Serao, portanto, todos os numeros pares da
>>forma :
>>
>>PAR = (2^q)*( (4^s - 1)/3 )
>>
>>Assim, fixado "s", existe uma infinidade de naturais ( todos eles ) "q" 
>>que
>>formam uma sequencia Aq=(2^q)*( (4^s - 1)/3 ) para a qual
>>F(Aq) "cai" ou "converge" para (4^s - 1)/3. A imaginacao nos leva a pensar
>>na sequencia Aq como uma "linha orientada" apontando para
>>(4^s - 1)/3, na qual marcamos os Aq indo para o infinito.
>>
>>Claramente que para todo "s" de (4^s - 1)/3 ha uma linha desse tido.
>>
>>Poderiamos agora esclarecer alguns aspectos sobre estas linhas, como, por
>>exemplo, se elas se cruzam ou nao, isto e, se existem q1#q2 e s1#s2 tais
>>que
>>:
>>
>>(2^q1)*( (4^s1 - 1)/3 ) = (2^q1)*( (4^s1 - 1)/3 ).
>>
>>Mas por brevidade vamos deixar isso de lado, por enquanto. O que e
>>importante e que, fixado "s", existe uma infinidade de "q" ( todos os
>>naturais ) tais que (2^q)*( (4^s - 1)/3 ) se transforma em (4^s - 1)/3.
>>
>>Podemos transformar esta ideia num par : (s,q). Assim, a todo par (s,q)
>>associamos o numero (2^q)*( (4^s - 1)/3 ). Isto significa que alguns
>>numeros
>>terao uma sequencia (s,q) associada, garantindo assim que ele atende ou
>>satisfaz a CONJECTURA DE SIRACUSA.
>>
>>O MAPA
>>
>>Eu acho que aqui consegui explicar a essencia da minha ideia para atacar o
>>problema 3N+1. Algumas coisas acessorias sao importantes e precisam ser
>>provadas ( O problema do cruzamento das linhas acima e simples, porem 
>>muito
>>importante ... ). A ideia e mapear os numeros que satisfazem a conjectura,
>>associando a cada um deles uma sequencia finita de numeros naturais. A
>>extensao das sequencias caracteriza, de certa forma, o quanto o numero 
>>esta
>>"distante" do SORVEDOURO. Essa distancia pode ser medida com o numero de
>>iteracoes da forma 3N+1.
>>
>>A ideia e mostrar que nenhum numero natural escapa a este mapeamento.
>>
>>E entao :
>>
>>1) Alguem preenche as lacunas e conclui a demonstracao ?
>>2) Alguem apresentar uma ideia melhor ?
>>3) Alguem quer criticar ?
>>
>>OBS : Eu nao vou ficar chateado se alguem quiser criticar e dizer que e 
>>uma
>>ideia de Mongo, Jaba ou coisa parecida.
>>
>>Um abraco
>>Paulo Santa Rita
>>2,1110,07052001
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