IME (era: "Re:dúvida")

[Alexandre Tessarollo <tessa@xxxxxxxx>]

luis felipe wrote:

> concordo com o alexandre
>
> a prova do IME deste ano foi bem elaborada, embora eu ache que duas questões
> estavem pesadas demais para alunos de 2 grau( 7 e a 9) devemos lamentar
> também uma falha grave no enunciado da questão 8
>
> valeu
>
> luis felipe

    Já que ninguém comenta, comento eu. Comecemos pela questão 9.

"Resolva a equação sqrt(5-sqrt(5-x))=x sabendo-se que x>0."

    Eu já devo ter visto umas 4 soluções diferentes, mas em quase todas havia
pelo menos um passo não justificado ou "questionável"... Uma delas era:

Seja f(x) = sqrt(5-x). Temos f(f(x))=x. Logo,  f(x)=f^(-1)(x). Aí vem a parte "é
fácil ver que" os gráficos de f(x) e de f^(-1)(x) se cruzam sobre a reta y=x. A
partir daí, temos f(x)=x, resolve-se uma equação do segundo grau e pronto. Mas
falta demonstrar a parte "é fácil ver"...

Outra diz:

    Aplicando f(x) nela mesma 2n vezes, com n tendendo ao infinito, teremos
f(f(f(f(....(f(x))...))))=x. Logo, podemos trocar todos os f(f(f...(f(x))...)))
de "dentro" do primeiro "f" por "x". Assim teremos f(x)=x e novamente é só
resolver a eq do segundo grau. A solução, olhando com carinho, está certa, mas
foi utilizado o conceito de limite.

Ainda há uma terceira, esta já sem erros mas um pouco mais longa. Trata-se da
solução do Poliedro:

    Como x>0 e real, temos que 0<x<5. Tome y=sqrt(5-x) (I). A equação original
transforma-se em
sqrt(5-y)=x (II)
    Elevando I e II ao quadrado, temos:
y^2=5-x    III
x^2=5-y    IV
    Fazendo III-IV, temos
y^2-x^2=y-x
(y+x)(y-x)=y-x
(y+x)(y-x)-(y-x)=0
(y-x)(y+x-1)=0

    Segue que
y-x=0    V

OU

y+x-1=0    VI

    De V segue a nossa equação do segundo grau. Considerando o intervalo 0<x<5,
só teremos uma resposta - a certa. Falta examinar VI. Substituindo-a em III ou
IV, teremos uma equação do segundo grau que resulta só uma resposta no intervalo
0<x<5. Contudo, como elevamos ao quadrado as eqs I e II p/chegarmos a III e IV,
precisamos verificar via teste se essas duas soluções servem ou não. Fazendo
isso só teremos a resposta correta...

Há ainda uma resposta, esta feita pelo Prof. Raul Agostino:

    Elevando a equação ao quadrado e arrumando, temos:
5-x=sqrt(5-x)

    Elevando novamente, temos:

25-10x^2+x^2=5-x

    O que todo mundo tenta daqui em diante é somar tudo num lado só, chegar num
polinômio do QUARTO grau e não conseguir resolvê-lo - ele não possui raízes
"óbvias", sequer inteiras... O pulo do gato segue abaixo, se vc não quiser ver,
pare aqui..

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Bum!! Brincadeirinha... :0)

    Olhando com MUITO carinho e MUITA boa vontade, podemos arrumar a equação
assim:

25-(2x^2+1)5+x^4+x=0

    Um olho treinado verá uma equação do SEGUNDO grau em CINCO. Isso mesmo, algo
da forma a(5^2)+b(5)+c=0. Resolvendo, teremos:

5=(2x^2+1 +-sqrt(4x^4+4x^2+1-4x^4-4x))/2
Dentro da raiz fica 4x^2+1-4x = (2x-1)^2. Tirando a raiz, deveríamos colocar o
módulo mas, como já existe o +-, basta colocar direto mesmo. Fica:

5=(2x^2+1 +-(2x-1))/2

    Resolvendo e respeitando os intervalos, teremos a solução...

[]'s

Alexandre Tessarollo