[obm-l] Re: [obm-l] Função Analítica

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Sep 28, 2002 at 12:58:45PM -0300, Salvador Addas Zanata wrote:
> 
> A definicao de analiticidade pra funcoes complexas implica no seguinte
> fato:
> 
> Se uma funcao complexa f e analitica num ponto, entao o seu polinomio de
> taylor centrado nesse ponto converge para f numa bola suficientemente
> pequena, centrada nesse ponto. 
> 
> 
> Esse fato se obtem por derivacoes da formula integral de Cauchy...
> 
> Pra funcoes f de R^n em R, por exemplo, diz-se que uma tal e analitica
> (num ponto) se o seu polinomio de Taylor (centrado nesse
> ponto) converge para f (numa vizinhanca do ponto).
> 
> Por exemplo, arctan(x) e analitica em x=0, apesar de que seu polinomio de
> Taylor:
> 
> 
> p(x)=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+x^9/9-....
> 
> so converge para |x|<1.
> 
> 
> Por outro lado, f(x)=exp(-1/x^2), se x<>0
>                 f(0)=0 
> 
> E infinitamente diferenciavel no zero, se definirmos todas as derivadas no
> zero como sendo zero. (apesar das derivadas nao serem continuas no zero, o
> limite de todas f'''''''''(x)->0, para x->0). E claro que essa f nao e
> analitica, porque o seu polinomio de Taylor centrado no zero e
> identicamente nulo e a funcao f so se anula em x=0.

Outra definição equivalente é a seguinte: uma função f: A -> R,
A um subconjunto aberto de R^n é real analítica se existir uma 
função complexa analítica g: B -> C, B um aberto de C^n, A contido em B,
g restrita a A igual a f.

[]s, N.
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