|
Caros colegas:
Aqui vai a minha lista. Acredito que se tivesse encontrado os resultados lá
mencionados durante o meu 2o. grau, talvez tivesse decidido cursar matemática e
não engenharia, como acabei fazendo.
1. O princípio das Casas de Pombos,
não pelo princípio em si, que é altamente intuitivo, mas pelas
consequências surpreendentes:
i) Em todo grupo de 6 pessoas, existem 3 que se conhecem mutuamente ou 3
que se desconhecem mutuamente - este é o ponto de partida pra teoria de Ramsey,
que ainda tem inúmeros problemas em aberto;
ii) Se um paciente tem que tomar 48 pílulas em 30 dias, sendo que ele toma
pelo menos uma pílula por dia, então existe uma sequência de dias
consecutivos nos quais ele toma exatamente 11 pílulas - este problema
não-trivial foi o que chamou a minha atenção para o PCP;
iii) Toda sequência de números reais possui uma subsequência
monótona - uma bela aplicação à Análise;
iv) Se a é irracional, então o conjunto A = {m + n*a; m, n inteiros} é
denso em R - resultado interessante por si só, mas que é o "pulo do gato" pra se
provar o inusitado
v) Dada uma sequência qualquer de algarismos, existe uma potência
de 2 cuja representação decimal começa com aquela sequência.
2. O teorema de Bezout: "Se a e b são dois inteiros quaisquer, então
mdc(a,b) é o menor inteiro positivo que pode ser expresso na forma a*x + b*y,
com x e y inteiros",
por ser uma das primeiras aplicações não-triviais do axioma da Boa
Ordenação e ser usado pra provar que:
i) Se a e b são inteiros primos entre si e se a divide b*c (c inteiro),
então a divide c;
ii) Se p é primo, então cada inteiro primo com p tem um inverso (mod
p);
Estes dois resultados, por sua vez, são usados pra provar:
iii) O pequeno teorema de Fermat;
iv) O teorema de Wilson;
Os quais, juntamente com o PCP, provam o sensacional:
3. Todo primo da forma 4k+1 é soma de dois quadrados.
Sem comentários. Se isso não é bonito, então o que é?
4. N é perfeito par ==> N = 2^(p-1)*(2^p - 1), onde 2^p - 1
é primo,
pela sacada simples mas brilhante de Euler. Como é que os gregos não viram
essa?
5. O caso n = 4 do Último Teorema de Fermat,
por ser um belo exemplo de aplicação da "descida infinita" (uma variante do
axioma da Boa Ordenação) e por pressupor um conhecimento da bela teoria
sobre os ternos Pitagóricos.
6. Postulado de Bertrand: "Se x > 1, então existe (pelo menos) um primo
entre x e 2x",
por ser inusitado, e ter uma demonstraçao que, apesar de meio longa, é
muito engenhosa e totalmente elementar.
7. Teoremas sobre cardinalidade de conjuntos infinitos, tais como:
card(N) = card(Q),
card(N) < card(R),
card(R) = card(R^2),
card(X) < card(Partes(X)), onde X é um conjunto qualquer,
card(Partes(N)) = card(R),
por serem surpreendentes para quem os vê pela primeira vez e pela
engenhosidade das demonstrações, especialmente o método da diagonal.
8. A existência e unicidade dos 5 poliedros regulares,
não só pela beleza mas pela importância histórica, pois foi o teorema que
Euclides escolheu pra encerrar os seus Elementos.
9. A desigualdade do rearranjo,
pela demonstração essencialmente combinatória, por não se aplicar
apenas a números positivos, e por implicar numa série de outras
desigualdades, inclusive a das médias geométrica e aritmética (apesar de
existirem demonstrações mais simples desta última).
10. A desigualdade isoperimétrica,
pela beleza do encadeamento lógico - passo a passo - da demonstração.
*****
Pro Frederico: Sobre o TNP, eu também acho a relação entre primos e
logaritmos altamente surpreendente, mas os pré-requisitos para que um aluno
normal de 2o. grau entenda quão especiais são os logaritmos naturais e o número
"e" talvez sejam pesados demais. Assim, eu achei melhor não incluir nem mesmo as
desigualdades de Chebichev envolvendo n/ln(n).
Por outro lado, um que quase incluí foi o fato de que a série dos
recíprocos dos primos é divergente.
Também fiquei muito tentado a incluir os interessantíssimos teoremas de
Desargues e Pappus da geometria projetiva, mas no fundo eu gosto mais de
álgebra e teoria dos números...
Um abraço,
Claudio.
|