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Vejamos um exemplo, seja n=59325. Separamos o digito
5 das unidades e do numero restante 5932, subtraímos o dobro deste
dígito, isto é: 5932-10=5922
Em seguida repetimos este procedimento até a
obtençao de um número suficientemente pequeno que possamos reconhecer,
facilmente, se é ou não divisivel por 7.592-4=588
Como 42 é divisivel por 7, o criterio que vamos
provar é que este fato irá implicar que o numero original também devera
ser divisivel por 7.58-16=42 Seja i o digito das unidades do numero n, entao n pode ser escrito como 10k+i. (No exemplo acima k=5932 e i=5). No procedimento descrito acima obtivemos um numero r como sendo k-2i. Feitas estas observacoes, sera suficiente provar que os numeros 10k+i e k-2i sao tais que, se um deles é multiplo de 7, o outro também é. Isto é, devemos provar a seguinte equivalencia: 10k+i é multiplo de 7 see k-2i é multiplo de 7. Demonstração: (=>) Se 10k+i é multiplo de 7, entao existe um inteiro m tal que 10k+i=7m e, portanto, k-2i=k-2(7m-10k)=k-14m+20k=21k-14m=7(3k-2m) o que imploca k-2i ser multiplo de 7. (<=) Se k-2i é multiplo de 7, entao existe um inteiro n, tal que k-2i=7n e, portanto, 10k+i=10(7n+2i)+i=70n+20i+i=70n+21i=7(10n+3i) o que implica 10k+i ser multiplo de 7. Isto conclui a prova. No exemplo acima, como 42 é divisivel por 7, entao 588 também é. Sendo 588 divisivel por 7, entao 5932 também devera ser e, a divisibilidade deste por 7 implica que 59325 devera ser divisivel por 7. Acho que isto prova o que você queria. Abraços, Aldo Claudio Buffara wrote: ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================Po, amigo! A demonstracao estah essencialmente completa. Basta notar que 10^6 == 1 (mod 7) e, portanto, a coisa toda se repete com periodo 6 no expoente de 10. Aquele "E por ai vai..." soh precisa ser substituido por uma inducao formal, mas pra bom entenddor 99% de palavra deveria bastar. []s, Claudio. on 02.11.05 15:38, Adélman de Barros Villa Neto at animalneto@mensa.org.br wrote:ninguem ainda? On Mon, 31 Oct 2005 23:14:38 -0200, "Adélman de Barros Villa Neto" <animalneto@mensa.org.br> escreveu:De: "Adélman de Barros Villa Neto" <animalneto@mensa.org.br> Data: Mon, 31 Oct 2005 23:14:38 -0200 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Novo na lista Olá,estou procurando de um arquivo da lista onde é demonstrado um critério de divisibilidade por 7.Alguem pode me ajudar?Encontrei essas mensagens mas em nem uma o autor completa a demonstração. Grato. Mod 7: 1 == 1 10 == 3 100 == 2 ==> (abc) = 100a + 10b + c == 2a + 3b + c (mod 7) Logo, 7 divide (abc) <==> 7 divide 2a + 3b + c 1000 == -1 10000 == -3 100000 == -2 ==> (abcdef) = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f == -2a -3b -c + 2d + 3e + f == -(2a+3b+c) + (2d+3e+f) (mod 7) Logo, 7 divide (abcdef) <==> 7 divide -(2a+3b+c) + (2d+3e+f) E por ai vai.... Ficou claro? Entao farelo pra voce tambem. []s, Claudio.========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= |