Re: [obm-l] Novo na lista

["Adélman de Barros Villa Neto" <animalneto@xxxxxxxxxxxx>]

Claudio Buffara:já que basta substituir por uma indução formal,pq você mesmo não substituiu?É exatamente isso que eu quero.



On Wed, 02 Nov 2005 22:02:20 -0200, Aldo Munhoz escreveu:

> De: Aldo Munhoz
> Data: Wed, 02 Nov 2005 22:02:20 -0200
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Novo na lista
>
> Vejamos um exemplo, seja n=59325. Separamos o digito5 das unidades e do numero restante 5932, subtraímos o dobro destedígito, isto é:

5932-10=5922

Em seguida repetimos este procedimento até aobtençao de um número suficientemente pequeno que possamos reconhecer,facilmente, se é ou não divisivel por 7.

592-4=588
58-16=42

Como 42 é divisivel por 7, o criterio que vamosprovar é que este fato irá implicar que o numero original também deveraser divisivel por 7.
Seja i o digito das unidades do numero n, entao n pode ser escrito como10k+i. (No exemplo acima k=5932 e i=5). No procedimento descrito acimaobtivemos um numero r como sendo k-2i. Feitas estas observacoes, serasuficiente provar que os numeros 10k+i e k-2i sao tais que, se um delesé multiplo de 7, o outro também é. Isto é, devemos provar a seguinteequivalencia:
10k+i é multiplo de 7 see k-2i é multiplo de 7.

Demonstração: (=>) Se 10k+i é multiplo de 7, entao existe uminteiro m tal que 10k+i=7m e, portanto,k-2i=k-2(7m-10k)=k-14m+20k=21k-14m=7(3k-2m) o que imploca k-2i sermultiplo de 7.
(<=) Se k-2i é multiplo de 7, entao existe um inteiro n, tal quek-2i=7n e, portanto, 10k+i=10(7n+2i)+i=70n+20i+i=70n+21i=7(10n+3i) oque implica 10k+i ser multiplo de 7. Isto conclui a prova.

No exemplo acima, como 42 é divisivel por 7, entao 588 também é. Sendo588 divisivel por 7, e! ntao 5932 também devera ser e, a divisibilidadedeste por 7 implica que 59325 devera ser divisivel por 7.

Acho que isto prova o que você queria.

Abraços,

Aldo

Claudio Buffara wrote:

Po, amigo! A demonstracao estah essencialmente completa. Basta notar que10^6 == 1 (mod 7) e, portanto, a coisa toda se repete com periodo 6 noexpoente de 10. Aquele "E por ai vai..." soh precisa ser substituido por umainducao formal, mas pra bom entenddor 99% de palavra deveria bastar.[]s,Claudio.on 02.11.05 15:38, Adélman de Barros Villa Neto at animalneto@mensa.org.brwrote:  

ninguem ainda?On Mon, 31 Oct 2005 23:14:38 -0200, "Adélman de Barros Villa Neto" escreveu:    

De: "Adélman de Barros Villa Neto" Data: Mon, 31 Oct 2005 23:14:38 -0200Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Novo na listaOlá,estou procurando de um arquivo da lista onde é demonstrado um critério dedivisibilidade por 7.Alguem pode me ajudar?Encontrei essas mensagens mas emnem uma o autor completa a demonstração.Grato.Mod 7:1 == 110 == 3100 == 2 ==> (abc) = 100a + 10b + c == 2a + 3b + c (mod 7)Logo, 7 divide (abc) <==> 7 divide 2a + 3b + c1000 == -110000 == -3100000 == -2 ==>(abcdef) = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f ==-2a -3b -c + 2d + 3e + f == -(2a+3b+c) + (2d+3e+f) (mod 7)Logo, 7 divide (abcdef) <==> 7 divide -(2a+3b+c) + (2d+3e+f)E por ai vai....Ficou claro?Entao farelo pra voce tambem.[]s,Claudio.      

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==================================================================Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=========================================================================  

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