Re: [obm-l] CORDA FOCAL MÍNIMA (elipse e parábola)

[Eduardo Wilner <eduardowilner@xxxxxxxxxxxx>]

    Prezado Denisson

    Gostaria muito de entender tua solução poquê, logo
abaixo, estou postando meus "rabiscos" que parecem não
serem tão elegantes e sucintos quanto o que vc.
apresenta; mas sinceramente nem entendí se é uma
elipse 
nem, p.e., como AF pode ser perpendicular ao eixo se
tanto A quanto F estão no eixo? Seriam A e B pontos da
curva em vez de do eixo? Mas como ficam os tais
triângulos congruentes?

    Bem, respiremos fundo, que lá vai minha proposta.
    Consideremos a elipse centrada na origem do
sistema de cooredenadas, com semi-eixo maior, a,
paralelo ao eixo dos x, semi eixo menor b e  c =
sqrt(a^2-b^2) a semi distância focal, sendo F(c,0),
F'(-c,0)os focos e P(x,y) um ponto genérico na curva.
     Aplicando a lei dos cossenoas ao triângulo FPF' e
 a propriedade PF+PF'=2a, não é dificil chegar a 

     PF = b^2/(a+c*cos t) onde t é o angulo que PF faz
com o eixo dos x.

    O complemento da corda, PF' tem sua expressão
modificada apenas pelo ângulo t-pi em lugar de t ou   

trocando o sinal de cos t:

     P'F = b^2/(a-c*cost),

    Somando temos o comprimento da corda focal:

     PP'=2b^2/(a^2-c^2*(cos t)^2)

     que assume um mínimo quando (cos t)^2=0 for
mínimo, i.e., t=pi/2.


    Mas, por favor, explique seu raciocínio.          

     []s

    Wilner

--- Denisson <denissoncs@gmail.com> escreveu:

> Aparentemente o que se tem que provar é que dado um
> ponto e uma reta, a
> perpendicular é menor que qualquer oblíqua. Bom, axo
> que cabe uma prova
> aqui:
> 
> 
> Axioma 1: A menor distância entre dois pontos é uma
> reta.
> 
> Seja F o foco, A e B pontos do eixo tais que AF é
> uma perpendicular ao eixo
> e BF qualquer oblíqua. Prolongue o segmento AF até
> um ponto A' tal que AF =
> AA'. Depois ligue BA'. Perceba que formamos dois
> triângulos congruentes,
> então A'B = BF. Note também que segundo o nosso
> axioma A'F < A'BF -> A'A +
> AF < A'B + BF -> 2*AF < 2*BF e portanto AF<BF.
> 
> Traduzindo, a corda traçada por um dos focos
> perpendicularmente ao eixo é a
> corda focal mínima...
> 
> 
> 
> 
> Em 04/11/05, Igor O.A. <igordiscussao@gmail.com>
> escreveu:
> >
> > Estava lendo um livro de geometria analítica e, no
> capítulo de ELIPSES,
> > havia a seguinte AFIRMAÇÃO:
> >
> > "A corda traçada por um dos focos,
> perpendicularmente ao eixo, denomina-se
> > *latus rectum corda *ou* focal mínima."*
> >  Ou seja, essa tal corda é a de menor comprimento
> que passa pelo foco.
> > Mas... COMO PROVAR ISSO???
> >   No capítulo de PARÁBOLA também há uma AFIRMAÇÃO
> bem parecida com a
> > anterior:
> >  "A corda tirada pelo foco, paralelamente à
> diretriz, recebe a denominação
> > de *latus rectum corda *ou* focal mínima."*
> >  Gostaria também de saber como provar essa
> afirmação no caso de uma
> > parábola.
> > **
> > Obrigado.
> >
> >
> > --
> > I G O R
> >
> > Jesus ama você.
> >
> 
> 
> 
> --
> Denisson
> 
> "Os homens esqueceram desta verdade; mas tu não a
> deves esquecer:
> É só com o coração que se pode ver direito. O
> essencial é invisível aos
> olhos!" (Saint Exupèrry)
> 



	



	
		
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