[obm-l] Problemas Selecionados de Matematica

[<profmarcio@xxxxxxxxxxxxxx>]

Boa noite, pessoal. 

Gostaria da ajuda de vocês no problema seguinte, do livro "Problemas Selecionados 
de Matemática", de Antônio Luiz Santos e Raul F. W. Agostinho. 

"Sejam a, b, c, d inteiros positivos tais que a ^ 5 = b ^ 4, c ^ 3 = d ^ 2 e c - a 
= 19. O valor de d - b é: 

a) 757 b) 758 c) 759 d) 760 e) 761" 

Eu fiz o seguinte: 

1. De a ^ 5 = b ^ 4 vem que a = (b/a) ^ 4. Como a é inteiro, b/a é inteiro. 
2. De c ^ 3 = d ^ 2 vem que c = (d/c) ^ 2. Como d é inteiro, d/c é inteiro. 
3. Fazendo b/a = p e d/c = q, de c - a = 19 vem que (q ^ 2 - p ^ 4) = 19, ou seja, 
(q - p ^ 2)(q + p ^ 2) = 19. Daí, q = 10 e p = 3, ou seja, b = 3a e d = 10c. 
4. Assim, de b = 3a e d = 10c, vem que d - b = 10c - (10a - 7a) = 10(c - a) + 7a. 
Fazendo as contas, conclui-se que d - b deixa resto 1 ao ser dividido por 7.. 
Dentre 
as opções, a única que satisfaz é 757. 

Minha pergunta é: como encontrar o valor de d - b sem utilizar as opções? 

[]s, 

Márcio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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