Re: [obm-l] Pintores

["Bernardo Freitas Paulo da Costa" <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Uma boa técnica para esse tipo de problemas é criar novas quantidades
no problema, introduzindo algo como "trabalho realizado", que é o
produto de uma "velocidade de trabalho" por "tempo trabalhado". Isso
permite somar quantidades coerentes (paredes pintadas, aqui) e
principalmente melhor visualizar o problema. Isso servirá também para
problemas do tipo "Duas torneiras enchem um tanque em tanto tempo ; se
retirarmos uma delas, o tempo passa a ser sei lá quantas vezes maior.
Quanto tempo seriam gastos se tivéssemos duas torneiras iguais à que
foi retirada?"

Para a solução : sejam va, vb as "velocidades" de cada um deles.
Juntos eles pintam 27 em 60 minutos te diz que
27 m^2 = 60 min * (va + vb)

=> veja que va, vb estão em "m^2 por minuto", então tá certinho (se
você, além das variáveis, prestar atenção no que elas querem dizer,
vai ver que muitas vezes só tem um jeito de montar a equação pra somar
coisas do mesmo tipo e multiplicar quantidades coerentes!)

os tempos de pintar 1m^2 diferem de 1 minuto
1 m^2 = Ta * va = Tb * vb e Ta - Tb = 1 min

=> aqui tanto faz qual é o mais rápido, e além disso, o problema não
disse quem é, então eu posso pensar que tem uma chance de não ser
importante !

agora é só fazer as substituições (e você pode inclusive ser apressado
e dizer, "bom, eu quero Ta e Tb, então vou tentar escrever tudo só com
eles")
va = 1 / Ta
vb = 1 / Tb = 1 / (Ta - 1)
jogue na primeira equação
27 = 60 * (1/ Ta + 1/(Ta - 1)) = 60 * (Ta - 1 + Ta)/( Ta(Ta - 1) ) e
daí é só partir pro abraço : (vou dividir por 3 pra diminuir os
números)

9 Ta^2 - 9 Ta = 20 * (2Ta - 1) = 40 Ta - 20
9 x^2 - 49 x + 20 = 0
x = 49 +- raiz(49^2 - 720) / 18 = (49 +- 41) / 18 = 90/18 ou 8/18 = 5 ou 4/9

Agora a gente volta : se Ta = 5, Tb = 4, um pinta 12 m^2 / hora, o
outro 15 m^2 /hora, somou, bateu !
se Ta = 4/9, Tb = -5/9, enquanto um pinta, o outro... despinta ? bom,
acho que essa solução não dá ; repare que se você fizer as contas sem
se preocupar, vai dar certo também, porque dá uma velocidade final de
9/4 - 9/5 = 9/20 m^2 / minuto (que é exatamente a outra, que é 1/5 +
1/4) e tudo vai coincidir.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

On Fri, Mar 28, 2008 at 2:16 PM, Emanuel Valente
<emanuelvalente@xxxxxxxxx> wrote:
> Não consegui montar algebricamente o seguinte problema. Ficarei grato
>  se me ajudarem!
>
>  Duas pessoas, A e B, pintam separadamente 1m^2 de um muro em tempos
>  que diferem de 1 minuto. Trabalhando juntas, elas pintam 27m^2 por
>  hora. Quanto tempo cada uma leva pra pintar 1 m^2 ?

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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