Bases

A notação usual para naturais é a chamada base 10, com algarismos $0, \ldots, 9$. Isto significa, por exemplo, que

$$196883 = 1 \cdot 10^5 + 9 \cdot 10^4 + 6 \cdot 10^3 + 8 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0.$$

O teorema abaixo mostra como escrever qualquer natural em qualquer base d.

Teorema 1.24: Seja $n \ge 0$ e d > 1. Então existe uma única seqüência $a_0, \ldots, a_k, \ldots$ com as seguintes propriedades:

(a)

para todo k, $0 \le a_k < d$,

(b)

existe m tal que se $k \ge m$ então a_k = 0,

(c)

$n = \sum_k a_k d^k$.

Dem: Escrevemos n = n₀ = n₁ d + a₀, $0 \le a_0 < d$, n₁ = n₂ d + a₁, $0 \le a_1 < d$, e em geral n_k = n_k+1 d + a_k, $0 \le a_k < d$. Nossa primeira afirmação é que n_k = 0 para algum valor de k. De fato, se n₀ < d^m então n₁ < d^m-1e mais geralmente, por indução, n_k < d^m-k; fazendo $k \ge m$ temos n_k < 1 donde n_k = 0. Segue daí que a_k = 0 para $k \ge m$. A identidade do item (c) é facilmente demonstrada por indução.

Para a unicidade, suponha $\sum_k a_k d^k = \sum_k b_k d^k$. Se as seqüências a_k e b_k são distintas existe um menor índice, digamos j, para o qual $a_j \ne b_j$. Podemos escrever $a_j + \sum_{k > j} a_k d^{k-j} = b_j + \sum_{k > j} b_k d^{k-j}$donde $a_j \equiv b_j \pmod d$, o que é uma contradição.          $\blacksquare$

Às vezes é interessante considerar expansões não apenas em outras bases mas com outros conjuntos de algarismos (veremos um exemplo disso no último capítulo). Por exemplo, podemos preferir algarismos negativos pequenos a algarismos positivos grandes e assim um bom conjunto de algarismos na base 10 seria

-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Desta forma, escrevemos $13 = 1 \cdot 10 + 3$ mas escrevemos $9 = 1 \cdot 10 - 1$ e $64 = 1 \cdot 10^2 - 4 \cdot 10 + 4$. Generalizando, os algarismos na base d seriam os inteiros a com $-d/2 < a \le d/2$, ou seja,

$$a = - \lfloor (d-1)/2 \rfloor, - \lfloor (d-1)/2 \rfloor + 1,... ...-1, 0, 1, \ldots, \lfloor d/2 \rfloor - 1, \lfloor d/2 \rfloor.$$

Este conjunto de algarismos nos permite enunciar um teorema análogo ao anterior, com a diferença que agora números negativos não precisam ser tratados em separado.

Teorema 1.25: Seja $n \in {\mathbb{Z} }$ e d > 2. Então existe uma única seqüência $a_0, \ldots, a_k, \ldots$ com as seguintes propriedades:

(a)

para todo k, $-d/2 < a_k \le d/2$,

(b)

existe m tal que se $k \ge m$ então a_k = 0,

(c)

$n = \sum_k a_k d^k$.

Dem: Escrevemos n = n₀ = n₁ d + a₀, $-d/2 < a_0 \le d/2$, n₁ = n₂ d + a₁, $-d/2 < a_1 \le d/2$, e em geral n_k = n_k+1 d + a_k, $-d/2 < a_k \le d/2$. Novamente, nossa primeira afirmação é que n_k = 0 para algum valor de k. De fato, se

$$-d^m/2 < n_0 \le d^m/2$$

então, por indução,

$$-d^{m-k}/2 < n_k \le d^{m-k}/2;$$

fazendo $k \ge m$ temos n_k = 0. Segue daí que a_k = 0 para $k \ge m$. A identidade do item (c) e a unicidade são demonstradas como no teorema anterior.          $\blacksquare$

Pode-se estudar representações na base dcom outros conjuntos X de algarismos. Algumas condições mínimas para que X seja um conjunto de algarismos interessante são que $0 \in X$, que X seja um sistema completo de resíduos e que o mdc dos elementos de X seja 1.