Sobre a distribuição dos números primos

Já vimos que existem infinitos primos; o teorema dos números primos dá uma estimativa de quantos primos existem até um inteiro x, ou seja, descreve a distribuição dos primos. Defina $\pi(x)$ como sendo o número de primos p com $2 \le p \le x$.

Teorema 1.26: (Teorema dos números primos)

$$\lim_{x\to\infty} \frac{\pi(x)}{x/\log x} = 1.$$

Observe que aqui e em todo o livro $\log$ denota o logaritmo natural. Este resultado foi conjecturado por vários matemáticos, inclusive por Legendre e Gauss, mas a demonstração completa só foi encontrada em 1896, por de la Vallée Poussin e Hadamard (independentemante). Não demonstraremos este teorema: as demonstrações elementares conhecidas são todas bastante difíceis (lembramos que uma demonstração é dita elementar quando não usa ferramentas avançadas: muitas demonstrações elementares são longas e sofisticadas). Daremos uma demonstração da seguinte proposição (devida a Tchebycheff) que é claramente uma versão fraca do teorema dos números primos.

Proposição 1.27: Existem constantes positivas c < C tais que

$$c \frac{x}{\log x} < \pi(x) < C \frac{x}{\log x}$$

para todo $x \ge 2$.

Dem: Observemos inicialmente que $\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{n!n!}$ é múltiplo de todos os primos p que satisfazem $n < p \le 2n$. Como

$$\binom{2n}{n} < \sum_{0 \le k \le 2n} \binom{2n}{k} = 2^{2n},$$

segue que o produto dos primos entre n e 2n é menor do que 2²ⁿ. Como há $\pi(2n) - \pi(n)$ primos como esses segue que $n^{\pi(2n)-\pi(n)} < 2^{2n}$(pois todos esses primos são maiores que n), donde $(\pi(2n) - \pi(n))\log n < 2n \log 2$e

$$\pi(2n)-\pi(n) < \frac{2n \log 2}{\log n}.$$

Isso implica facilmente, por indução, que

$$\pi(2^{k+1}) \le \frac{5 \cdot 2^k}{k}$$

(começando com k=5; até k=5 segue de $\pi(n) \le n/2$). Daí segue que se $2^k < x \le 2^{k+1}$ então

$$\pi(x) \le \frac{5\cdot2^k}{k} \le \frac{5x\log 2}{\log x}$$

pois $f(x) = x\log 2/\log x$ é uma função crescente para $x \ge 3$.

Vamos agora provar a outra desigualdade. O expoente do primo p na fatoração de n! é
$$\begin{align}w_p(n) &= \left\lfloor{\frac{n}{p}}\right\rfloor + \left\lfloor{\fr... ...&= \sum_{k=1}^\infty \left\lfloor{\frac{n}{p^k}}\right\rfloor \notag \end{align}$$
(esta é uma soma finita pois se $k > \log_pn = \log n/\log p$ então $\lfloor\frac{n}{p^k}\rfloor = 0$). De fato, $\lfloor\frac{n+1}{p^j}\rfloor - \lfloor\frac{n}{p^k}\rfloor$ é sempre 0 ou 1, e é igual a 1 se e só se p^j divide n+1. Assim, w_p(n+1) - w_p(n)é igual ao expoente de p na fatoração de n+1, o que fornece uma prova por indução do fato acima.

Assim, o expoente de p em $\binom{2n}{n} = (2n)!/n!^2$ é

$$\sum_{k=1}^\infty \left({ \left\lfloor{\frac{2n}{p^k}}\right\rfloor - 2 \left\lfloor{\frac{n}{p^k}}\right\rfloor}\right).$$

Temos agora que $\lfloor\frac{2n}{p^k}\rfloor - 2 \lfloor\frac{n}{p^k}\rfloor$é sempre 0 ou 1 (pois $0 \le x- \lfloor x \rfloor < 1$ para todo x), donde o expoente de p em $\binom{2p}{p}$ é no máximor $\log_p n = \log n/\log p$ para todo primo p. Por outro lado, se $n < p \le 2n$, o expoente de p em $\binom{2p}{p}$ é 1. Assim, se $\binom{2n}{n} = \prod_{p < 2n} p^{\alpha_p}$é a fatoração de $\binom{2n}{n}$ então
$$\begin{align}\log \binom{2n}{n} &= \sum_{p < 2n} \alpha_p\log p \notag\\ &= \su... ...g n + (\pi(2n)-\pi(n))\log(2n) \notag\\ &\le \pi(2n)\log(2n) \notag \end{align}$$
donde

$$\pi(2n) \ge \log \binom{2n}{n}/\log(2n) \ge n\log 2/\log(2n)$$

pois

$$\binom{2n}{n} = \frac{2n}{n} \cdot \frac{2n-1}{n-1} \cdots \frac{n+1}{1} \ge 2^n,$$

donde

$$\pi(x) \ge \frac{x\log 2}{\log x}$$

para todo x par, o que implica na mesma estimativa para todo x inteiro, pois $\pi(2k-1) = \pi(2k)$.          $\blacksquare$

Corolário 1.28: Seja $f: {\mathbb{N} }\to [0,+\infty)$ uma função decrescente. A série

$$\sum_{p \text{ primo}} f(p)$$

converge se e somente se a série

$$\sum_{n = 2}^\infty \frac{f(n)}{\log n}$$

converge. Em particular,

$$\sum_{p \text{ primo}} \frac{1}{p} = + \infty.$$

Deixamos a demonstração deste corolário como exercício.

Uma aproximação mais precisa para $\pi(x)$ é dada por

$$\operatorname{Li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\log t},$$

onde tomamos o valor principal desta integral, ou seja,

$$\operatorname{Li}(x) = \lim_{\varepsilon\to 0} \int_\varepsil... ... \frac{dt}{\log t} + \int_{1+\varepsilon}^x \frac{dt}{\log t};$$

claramente

$$\lim_{x \to \infty}\frac{\operatorname{Li}(x)}{\log(x)/x} = 1.$$

Sabe-se entretanto que

$$\vert\pi(x) - \operatorname{Li}(x)\vert \le C x e^{-a(\log x)^{3/5} (\log \log x)^{-1/5}}$$

para algum valor das constantes a e C (independente de x). Em particular, para qualquer k > 0 existe C > 0 tal que,para todo x,

$$\vert\pi(x)-\operatorname{Li}(x)\vert \le C \frac{x}{(\log x)^k},$$

o que mostra que $\operatorname{Li}(x)$ (e mesmo $x/(\log x-1)$) é uma aproximação de $\pi(x)$ bem melhor do que $x/\log x$.

A hipótese de Riemann, já mencionada, equivale a dizer que para todo $\varepsilon> 0$ existe C com

$$\vert\pi(x) - \operatorname{Li}(x)\vert \le C x^{1/2+\varepsilon};$$

ninguém sabe demonstrar que esta estimativa seja correta sequer para algum valor de $\varepsilon< 1/2$. A hipótese de Riemann também implica que existe C com

$$\vert\pi(x) - \operatorname{Li}(x)\vert \le C x^{1/2} \log x,$$

o que daria uma estimativa para o tamanho deste erro muito melhor de que as que se sabe demonstrar. Por outro lado, sabe-se demonstrar que não pode existir nenhuma estimativa muito melhor do que esta para $\vert\pi(x) - \operatorname{Li}(x)\vert$: existe uma constante C > 0 e inteiros x₁ e x₂ arbitrariamente grandes com
$$\begin{align}\pi(x_1) - \operatorname{Li}(x_1) &< -C \frac{\sqrt{x_1} \log\log\l... ...e{Li}(x_2) &> C \frac{\sqrt{x_2} \log\log\log x_2}{\log x_2}. \notag \end{align}$$