O látice de Toda periódico

Equações (algébricas, diferenciais) que podem ser resolvidas explicitamente têm sempre algo de elementar ou de surpreendente. O látice de Toda é um sistema de equações diferenciais não lineares para o qual existe uma solução bastante explícita, que aliás não é elementar. Na verdade, existem várias mutações do látice de Toda, das quais consideramos duas nesse texto: o caso aberto e o caso periódico. O caso aberto é mais simples em vários sentidos. Sua resolução não faz uso de objetos de dimensão infinita (ou transcendentes), necessários no caso periódico. Os dois casos são representativos de uma situação freqüente: as equações são enganadoramente difíceis porque descrevem a evolução de projeções (não lineares) de objetos que, por sua vez, evoluem de forma simples. Para o látice de Toda, essas projeções são descritas em termos de uma fatoração matricial. No caso aberto, as matrizes estão em $GL(n,{\mathbb{R} })$. No caso periódico, o grupo de interesse -- um grupo de laços, ${{\cal{L}}G}= {\cal{L}}GL(n,{\mathbb{C} })$ -- é de dimensão infinita, com muitas propriedades comuns com grupos de Lie de dimensão finita. A analogia entre operações familiares em $GL(n,{\mathbb{R} })$ e suas contrapartidas infinitas é um dos temas da teoria dos grupos de laços. Uma excelente referência é [PS].