Diagramas

Seja b uma trança. Um par em b consiste de dois pontos distintos em $b \cap {\mathbb{C} }\times (0,1)$ (não necessariamente no mesmo nivel. Um m-diagrama (chord diagram) em b consiste de m pares disjuntos em b. Dois diagramas em b são equivalentes se existe um difeomorfismo de b fixando as extremidades de b e levando um diagrama no outro. Por exemplo, numa 1-trança, todos os 1-diagramas são equivalentes e há exatamente três classes de equivalencia de 2-diagramas. Um diagrama numa 1-trança pode ser representado por uma palavra $a_1a_2 \ldots a_{2m}$ (lendo de cima para baixo). Cada par é representado por uma letra. Assim os três tipos de 2-diagramas numa 1-trança são aabb, abab e abba. Observe que aabb e bbaa representam o mesmo diagrama.

Seja D_m(b) o conjunto (finito) das classes de equivalência de m-diagramas em b e ${\mathbb{C} }D_m(b)$ o ${\mathbb{C} }$-espaço vetorial das combinações ${\mathbb{C} }$-lineares formais (finitas) de elementos de D_m(b).

Se $\alpha \in D_m(b_1)$ e $\beta \in D_n(b_2)$ então o produto $\alpha \beta \in D_{m+n}(b_1b_2)$ é definido da maneira óbvia, colocando $\alpha$ em cima de $\beta$. Este produto se estende linearmente a um produto ${\mathbb{C} }D_m(b_1) \times {\mathbb{C} }D_m(b_2) \to {\mathbb{C} }D_{m+n}(b_1b_2)$.

Seja agora D um diagrama em b e xx,yy dois pares de D. Retire um dos x's e insira-o imediatamente abaixo de (resp acima de) cada um dos y's, obtendo assim diagramas D₁, D₂ (resp D₃ e D₄). Por exemplo, se (numa 1-trança) D = abcadbdc, podemos escolher os pares bb e dd, obtendo assim D₁ = abcadbdc , D₂ = acadbbdc , D₃ = acadbbdc e D₄ = acadbdbc. Uma relação 4T é uma relação em ${\mathbb{C} }D_m(b)$ do tipo

D₁ + D₂ - D₃ - D₄.

Definimos A_m(b) a ser o quociente do ${\mathbb{C} }$-espaço vetorial pelo subespaço gerado pelas relações 4T.

Como o produto de uma relação 4T com um diagrama é uma relação 4T, o produto de diagramas induz um produto

$$A_m(b_1) \times A_n(b_2) \to A_{m+n}(b_1 b_2)$$

e consequentemente a um produto

$$A(b_1) \times A(b_2) \to A(b_1 b_2).$$

Por definição, A(b) consiste de somas infinitas formais $x_0+x_1+x_2+ \ldots$ onde x_m pertence a A_m(b) para $0 \le m$. Observe que A₀(b) é isomorfo a ${\mathbb{C} }$, gerado pelo diagrama vazio, denotado por 1.

Da mesma maneira podemos definir D_m(S¹) (onde S¹ é o círculo) como m-diagramas em S¹ módulo difeomorfismos de S¹ que preservam a orientação de S¹ e A_m(S¹) como o quociente de ${\mathbb{C} }D_m(S^1)$ pelo subespaço gerado pelas relações 4T. Um elemento de D_m(S¹) pode ser representado por uma palavra cíclica composta de m pares de letras diferentes. Por exemplo, como palavras cíclicas, as seis palavras $abcbca, bcbcaa, \ldots, aabcbc$ representam a mesma palavra cíclica, ou seja o mesmo elemento de D₃(S¹).

De fato, A(S¹) não é só um ${\mathbb{C} }$-espaço vetorial mas uma ${\mathbb{C} }$-álgebra. O produto é dado (aparentemente de forma ambígua) por juxtaposição de palavras. Por exemplo, o produto de abba e xyxy é abbaxyxy. Mas, usando as relações 4T, temos

xabbayxy+abbxayxy=axbbayxy+abbaxyxy

axbbayxy+abxbayxy=abxbayxy+abbxayxy.

Segue-se que, em A₄(S¹),

abbaxyxy=xabbayxy.

Mas, tratando-se de palavras cíclicas,

xabbayxy=abbayxyx.

Consequentemente

abbaxyxy=abbayxyx.

Continuando assim, vemos que, módulo as relações 4T, o produto em A(S¹) é bem definido. É claro que o produto é comutativo. Por exemplo,

abbaxyxy=xyxyabba

simplesmente porque as duas palavras representam a mesma palavra cíclica.

Embora a dimensão de A_m(S¹) cresce muito rapidamente com m, é fácil ver, pelo menos, que A₁(S¹) e A₂(S¹) e A₃(S¹) têm ${\mathbb{C} }$-bases aa e abab, aabb e

aabbcc, abcacb, abcabc

respectivamente.

Se b é uma trança cujo fecho é um nó então cada diagrama em b define (por inclusão) um diagrama no fecho, ou seja em S¹. Assim temos uma aplicação ${\mathbb{C} }$-linear

$$p: A(b) \to A(S^1)$$

(pois é fácil ver que inclusão leva relações 4T em relações 4T).

Em geral os fechos de b₁ b₂ e b₂ b₁ são equivalentes como nós ou enlaçamentos. Em particular, se o fecho de b₁ b₂ é um nó então o fecho de b₂ b₁ também o é e se $\alpha \in D_m(b_1)$ e $\beta \in D_n(b_2)$ então

$$p(\alpha \beta) = p(\beta \alpha).$$