Grupos Clássicos: Definições

Grupos clássicos é uma denominação empregada para alguns grupos de matrizes, ou de classes de matrizes, em que a operação do grupo provêm do produto matricial. Cada matriz-elemento de um grupo assim deve ser inversível, e logo seu determinante não se anula. O primeiro grupo clássico é Gl_n(A), dito o grupo linear geral, tendo como conjunto subjacente o conjunto das matrizes $n\times n$ com determinante não-nulo e coeficientes em um anel comutativo A; dotado do produto matricial, Gl_n(A) é um grupo.

Se $\mathcal{ U}(A)$ denota o grupo das unidades de um anel A então o determinante é um morfismo de grupos

$${\rm det}:Gl_n(A)\longrightarrow \mathcal{ U}(A), \tag{\bf I.1.1}$$ (I.1.1)

cujo núcleo é o grupo clássico denotado por Sl_n(A) e dito o grupo linear especial. Assim Sl_n(A) é subgrupo normal de Gl_n(A). Se o anel A de constantes for um corpo (comutativo) k então o centro Z_n de Gl_n(k) consiste nos múltiplos escalares $\lambda Id$ da matriz identidade Id, e logo Z_n é isomorfo ao grupo multiplicativo $\mathcal{ U}(k)=k^*=k\setminus \{ 0\}$. O grupo quociente Gl_n(k)/Z_n é denotado PGl_n(k) e é chamado de grupo linear geral projetivo. O centro de Sl_n(k) é $Z_n\cap Sl_n(k)$ e consiste nos múltiplos escalares $\lambda Id$ da matriz identidade Id tais que $\lambda^n=1$. Assim, o centro de Sl_n(k) é sempre finito, e $PSL_n(k):=Sl_n(k)/Z_n\cap Sl_n(k)$ é dito grupo linear especial projetivo. Por exemplo, se n=2 e a característica de k for diferente de 2 então
$$\begin{align}Gl_2(k)&=\left\{\ \begin{pmatrix} a &b\\ c&d\end{pmatrix} \ \vert... ...x}a &b\\ c&d\end{pmatrix}\ \vert \ ad-bc=1 \right\}/\pm Id. \notag \end{align}$$
Outros grupos clássicos dependem de formas bilineares ou semi-lineares em V=kⁿ; tais formas são funções
$$\begin{align}f(\bullet,\bullet):V\times V&\longrightarrow k \notag\\ (x,y)&\mapsto f(x,y),\notag \end{align}$$
e são simétricas (resp., anti-simétricas) se, para todo $x,y\in V$, tivermos

$$f(x,y)=f(y,x)\qquad {\rm resp.} \ f(y,x)=-f(x,y).$$

Se uma tal forma é linear nas duas coordenadas ela é dita bilinear, e é dita não-singular se não existe x₀ tal que f(x₀,x)=0 para todo x. Trataremos ainda de formas no caso em que o corpo k tem uma involução $\alpha\mapsto \overline{\alpha}$ (o caso paradigma é $k={\bf C}$, o corpo dos complexos, com a conjugação), e a forma é hermitiana, no sentido em que satisfaz

$$f(x,y)=\overline{f(y,x)}.$$

Neste caso assume-se que a forma é linear na primeira coordenada e anti-linear na segunda, isto é,

$$f(x,\alpha_1y_1+\alpha_2y_2)= \overline{\alpha_1}f(x,y_1) +\overline{\alpha_2}f(x,y_2).$$

Dado um espaço vetorial V de dimensão n sobre um corpo k e uma forma $f(\bullet ,\bullet)$ de qualquer destes tipos, as matrizes M em Gl_n(k) que preservam esta forma, no sentido de satisfazerem

$$f(Mx,My)=f(x,y)\qquad {\rm para\ todos\ } x,y\in V$$

formam um grupo clássico. Se a forma $f(\bullet ,\bullet)$ é não-singular e anti-simétrica então o grupo de matrizes $n\times n$ com coeficientes em k que preservam esta forma é chamado o grupo simplético, denotado por Sp_n(k). A estrutura de grupo de Sp_n(k) independe da escolha da forma bilinear antisimétrica, que pode ser tomada como
$$\begin{align}f(x,y) &= \sum_{1\le i\le n/2} (x_{2i-1}y_{2i}-x_{2i}y_{2i-1})= x^... ...ix} \notag\\ B &= \begin{pmatrix}0&1\\ -1&0 \end{pmatrix}. \notag \end{align}$$
Assim, n é sempre um número par. As matrizes $M\in Sp_n(k)$ são descritas pela condição

M^tAM=A.

O centro Z(Sp_n(k) de Sp_n(k) consiste nas matrizes $M=\lambda Id$ onde $\lambda =\pm 1$, e o quociente Sp_n(k)/Z(Sp_n(k)) é dito o grupo simplético projetivo. Se n=2 então

$$Sp_2(k)=Sl_2(k)\ {\rm e}\ PSp_2(k)=PSl_2(k).$$

No caso de $f(\bullet ,\bullet)$ ser não-singular, bilinear e simétrica, e o corpo k ter característica diferente de 2, os grupos de matrizes que preservam $f(\bullet ,\bullet)$ são os chamados grupos ortogonais; em geral a classe de isomorfismo destes grupos depende da escolha de $f(\bullet ,\bullet)$, e logo estes grupos devem vir denotados por O_n(k,f). O número de formas $f(\bullet ,\bullet)$ que geram grupos não isomorfos depende do corpo de constantes k. O determinante de qualquer matriz em O_n(k,f) é $\pm 1$, e o grupo de matrizes de determinante um em $O_n(k,f)\cap Sl_n(k)$ é denotado por SO_n(k,f). O centro Z(O_n(k,f)) consiste nas matrizes $M=\lambda Id$ onde $\lambda =\pm 1$, e o quociente $SO_n(k,f)/Z(O_n(k,f))\cap SO_n(k,f)$ é denotado PSO_n(k,f). O núcleo SO_n(k,f) de

$$\det:O_n(k,f)\longrightarrow \{ \ \pm 1 \ \}$$

é abeliano, e deve conter os comutadores M₁M₂M₁^-1M₂^-1. O grupo comutador $\Omega_n(k,f)$, gerado por estes comutadores, é assim um subgrupo de SO_n(k,f). Definimos

$$P\Omega_n(k,f)=\Omega_n(k,f)/(Z(O_n(k,f)) \cap \Omega_n(k,f)).$$

No caso de k ser dotado de uma involução $\alpha\mapsto \alpha$ e $f(\bullet ,\bullet)$ ser hermitiana os grupos de matrizes não-singulares que preservam esta forma são os grupos unitários; como no caso dos grupos ortogonais, os grupos unitários dependem da escolha de $f(\bullet ,\bullet)$, e devem ser denotados por U_n(k,f). As matrizes em U_n(k,f) de determinante um formam um subgrupo SU_n(k,f). O centro Z(U_n(k,f) de U_n(k,f) é formado por $\{ \lambda Id\ \vert\ \lambda \overline{\lambda}= 1\}$, e

$$Z(SU_n(k,f))=Z(U_n(k,f))\cap SU_n(k,f).$$

Denotamos

$$PU_n(k,f)=U_n(k,f)/Z(U_n(k,f))\qquad {\rm e}\qquad PSU_n(k,f)=SU_n(k,f)/Z(SU_n(k,f)).$$

Exemplos e Exercícios

1. Grupos clássicos sobre um corpo finito. O corpo finito com q=p^r elementos será denotado por ${\bf F}_q$. Temos
$$\begin{align}PSl_2({\bf F}_2) &= Sl_2({\bf F}_2) \notag\\ &= \left\{ \begin{pm... ...pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1&1 \end{pmatrix} \right\} \notag \end{align}$$
donde $PSl_2({\bf F}_2)$ é isomorfo ao grupo S₃ e o subgrupo

$$\left\{ \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0&1 \end{pmatrix}, \begin{pma... ...d{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1&1 \end{pmatrix} \right\}$$

é normal em $PSl_2({\bf F}_2)$.

Sobre ${\bf F}_3$ o grupo PSl₂ consiste de classes de matrizes; a descrição abaixo identifica cada matriz com a classe a que pertence:
$$\begin{align}PSl_2({\bf F}_2) &= Sl_2({\bf F}_2)/\pm Id \notag\\ &= \{ \begin{... ...d{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \}. \notag \end{align}$$
donde $PSl_2({\bf F}_3)$ é isomorfo ao grupo A₄ e o subgrupo

$$\left\{\ \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1&2\end{pmatrix}, \begin{p... ...d{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1\\ 2&0\end{pmatrix}\ \right\},$$

isomorfo a ${\bf Z}/2{\bf Z}\times {\bf Z}/2{\bf Z}$, é normal em $PSl_2({\bf F}_3)$.

Estes são, no entanto, os únicos casos em que $PSl_2({\bf F}_q)$ não é simples. Para n=2 e $q\ge 4$, e para n> 2 os grupos $PSl_2({\bf F}_q)$ são simples e formam a família mais tratável (a parte os grupos cíclicos de ordem prima e os grupos alternados A_n para $n\ge 5$) no grande teorema de classificação de grupos finitos simples (ver o material recolhido em 3. abaixo). A ordem de $PSl_n({\bf F}_q)$ é dada por

$$card(PSl_n({\bf F}_q)) = \frac{q^{\binom{n}{2}}}{\operatorname{mdc}(n,q-1)} \prod_{2\le i \le n}(q^i-1).$$

Temos $PSp_2({\bf F}_2)=PSl_2({\bf F}_2)$ isomorfo a S₃ e $PSp_2({\bf F}_3)=PSl_2({\bf F}_3)$ isomorfo a A₄. Também $PSp_4({\bf F}_2)$ não é simples; estes são, contudo, os únicos exemplos de $PSp_n({\bf F}_q)$ não-simples. A ordem de $PSp_n({\bf F}_q)$ é dada por

$$card(PSp_n({\bf F}_q))= \frac{q^{\binom{n}{2}^2}}{\operatorname{mdc}(n,q-1)} \prod_{1\le i \le n/2}(q^{2i}-1).$$

Se a característica do corpo k for diferente de dois e n=2l+1 for ímpar então o grupo $P\Omega_n({\bf F}_q)$ é simples se l>1, e tem sua ordem dada por

$$card(P\Omega_n({\bf F}_q)) = \frac{q^{(\frac{n-1}{2})^2}}{\operatorname{mdc}(2,q-1)} \prod_{1\le i \le (n-1)/2}(q^{2i}-1).$$

Se n=2l for par então existem dois grupos não isomorfos e simples se l>2, dependendo da escolha da forma bilinear simétrica. Estes grupos são denotados por $P\Omega_n^+({\bf F}_q)$ e $P\Omega_n^-({\bf F}_q)$, e tem ordens dadas por

$$card(P\Omega_n^+({\bf F}_q)) = \frac{q^{l(l-1)}}{\operatorname{mdc}(4,q-1)} \prod_{1\le i \le n/2}(q^{2i}-1)$$

e

$$card(P\Omega_n^-({\bf F}_q)) = \frac{q^{l(l-1)}}{\operatorname{mdc}(2,q+1)} [\prod_{1\le i \le (n/2)-1}(q^{2i}-1)](q^l+1).$$

Um grupo unitário finito depende de uma forma sesqui-linear, que por sua vez depende do automorfismo involutivo $\alpha\mapsto \overline{\alpha}$. Só existe um tal automorfismo se a cardinalidade do corpo for um quadrado q². Sobre um corpo de constantes fixo ${\bf F}_{q^2}$ os grupos unitários são isomorfos entre si, e os grupos $PSU_n({\bf F}_{q^2})$ são simples exceto quando n=2 e q=2 ou 3 e n=3 e q=2. A ordem é dada por

$$card(PSU_n({\bf F}_{q^2}))= \frac{q^{n(n-1)/2}}{\operatorname{mdc}(n,q-1)} \prod_{2\le i \le n}(q^i-(-1)^i1).$$

2. A simplicidade de $PSL_2({\bf F}_q)$. No caso de A=k ser um corpo o determinante (I.1.1) como homomorfismo de grupos admite uma seção
$$\begin{align}\mathcal{ U}(k)&\longrightarrow Gl_n(k) \notag\\ \mu&\mapsto D(\m... ...&1&\cdots &0\\ &&\ldots &\\ 0&0&\cdots &\mu\end{pmatrix},\notag \end{align}$$
e realiza Gl_n(k) como produto semi-direto de Sl_n(k) e $\mathcal{ U}(k)=k^*$. Isto significa que toda matriz $A\in Gl_n(k)$ se escreve de forma única

$$A=U_A.D(\det (A)).\tag{\bf 2.1}$$ (2.1)

Se $E_{ij}=(\delta_{ij})$ é a matriz com entradas nulas exceto pela entrada na i^esima linha e j^esima coluna, que é igual a um, então para $i\not= j$ a matriz $B_{ij}(\mu)=Id+\mu E_{ij}$ é dita uma transvecção. Vale

$$B_{ij} (\mu)B_{ij}(\lambda)=B_{ij}(\mu+\lambda), \tag{\bf 2.2}$$ (2.2)

e $B_{ij}(\mu)\in Sl_n(k)$, e de fato Sl_n(k) é o subgrupo de Gl_n(k) gerado por transvecções.

Se n=2 e $k={\bf F}_q$ então o grupo $Sl_2({\bf F}_q)$ se manifesta como o grupo de transformações lineares fracionárias

$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad {\rm onde} \ ad-bc=1.\tag{\bf 2.3}$$ (2.3)

Seja H subgrupo normal de $Sl_2({\bf F}_q)$. Se a transvecção $B_{ij}(\mu)$ estiver em H então $H=Sl_2({\bf F}_q)$. De fato, para $\begin{pmatrix}a&b\\ c&d \end{pmatrix}\in Sl_2({\bf F}_q)$ a normalidade de H implica
$$\begin{align}\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&\mu\\ 0&1\e... ...\mbox{se $a=0$ }. \end{cases} \qquad \in Sl_2({\bf F}_q).\notag \end{align}$$
O endomorfismo $x\mapsto x^2$ de ${\bf F}_q^*$ tem como núcleo as raízes de x²-1. Como existem no máximo duas destas raízes, pelo menos metade dos elementos de ${\bf F}_q^*$ são quadrados.

Por causa de (2.2) o conjunto

$$L=\{\ \lambda\in{\bf F}_q\ \vert\ B_{12}(\lambda)\in H \ \}\cup \{ 0\}$$

é subgrupo do grupo aditivo de ${\bf F}_q$, que contem todos os elementos do tipo $B_{12}(\mu a^2)$, e logo contem mais da metade dos elementos de ${\bf F}_q$. Pelo Teorema de Lagrange $L={\bf F}_q$ e H contem todas as transvecções $B_{12} (\lambda)$. Analogamente, $B_{21}(\lambda)\in H$, e H contem todas as transvecções, isto é, $H=Sl_2({\bf F}_q)$.

Para provar a simplicidade de $PSl_2({\bf F}_q)$ é suficiente provar que se H for um subgrupo normal de $Sl_2({\bf F}_q)$ contendo o centro $Z(Sl_2({\bf F}_q))=\{ \lambda Id\ \vert\ \lambda^2=1\}$ então necessariamnete $H=Sl_2({\bf F}_q)$. Se H contiver a matriz $A=\begin{pmatrix}a&0\\ c&d\end{pmatrix}$, para $a\not= \pm 1$ então H também contem, para $S=\begin{pmatrix}1&0\\ 1&1\end{pmatrix}\in Sl_2({\bf F}_q)$, a matriz

$$SAS^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\ 1-d^2&1\end{pmatrix}\in H.$$

Como $\det (A)=1=ad$ vale $d\not= \pm 1$ e $1-d^2\not= 0$, e SAS^-1A^-1=B₂₁(1-d²), e logo $H=Sl_2({\bf F}_q)$ pelo visto acima.

Assim, resta mostrar que H contem alguma matriz $A=\begin{pmatrix}a&0\\ c&d\end{pmatrix}$ com $a\not= \pm 1$. Seja $M=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix} \in H$ matriz em H não no centro $Z(Sl_2({\bf F}_q))$ com polinômio mínimo $x^2+\gamma x+1$. Se este polinômio se fatorar em ${\bf F}_q$ então M é similar a uma matriz diagonal, caso contrário M é similar à matriz na forma canônica racional

$$\begin{pmatrix}0&-1\\ 1& -\gamma \end{pmatrix}.$$

A matriz $S\in Gl_2({\bf F}_q)$ que realiza a similaridade se decompõe como em (2.1) $S=U_S.D(\delta)$, onde $\delta =\det(S)$ e $U_S\in Sl_2({\bf F}_q)$, e logo no primeiro caso

$$M=S \begin{pmatrix}\alpha^{-1} &0\\ 0&\alpha\end{pmatrix} S... ...begin{pmatrix}\alpha^{-1} &0\\ 0&\alpha\end{pmatrix}U_S^{-1}$$

(porque matrizes diagonais comutam), e logo $A=\begin{pmatrix}\alpha^{-1} &0\\ 0&\alpha\end{pmatrix}= U_S^{-1}MU_S\in Sl_2({\bf F}_q)$ satisfaz as exigências, já que $\alpha^{-1}\not= \pm 1$ porque M não está no centro $Z(Sl_2({\bf F}_q))$. Se M não for diagonalizável então de qualquer forma por normalidade H conterá a matriz

$$C=U_S^{-1}MU_S=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&\delta \end{pmatrix} ... ...\begin{pmatrix}0&-\delta^{-1}\\ \delta &-\gamma\end{pmatrix}.$$

Para $T=\begin{pmatrix}\alpha^{-1}&0\\ 0&\alpha\end{pmatrix}\in Sl_2({\bf F}_q)$ vale que H certamente conterá

$$U=TCT^{-1}C^{-1}= \begin{pmatrix}\alpha^{-2}&0\\ \delta \gamma(\alpha^2-1)&\alpha^2\end{pmatrix},$$

e só resta escolher $\alpha$ tal que $\alpha^2 \not= \pm 1$, isto é, $\alpha$ não sendo raiz de x⁴-1. Isto é possível se q=4 e se q>5. Para q=5 o grupo $PSl_2({\bf F}_5)$ é também simples, com uma escolha mais delicada de matrizes $M\in H$.

Valem os isomorfismos

$$PSl_2({\bf F}_5)\simeq PSl_2({\bf F}_4)\simeq A_5,$$

o grupo alternado de 60 elementos. Para q=7 o grupo $PSl_2({\bf F}_7)$ é um grupo simples não abeliano nem isomorfo a um grupo alternado, já que sua ordem 168 não é da forma $\frac{1} {2}n!$. No entanto, $PSl_2({\bf F}_9)$ volta a ser isomorfo ao grupo alternado A₆.

3. Um olhar de relance sobre grupos simples. Para listar todos os grupos simples finitos nos é possível, ao final do século XX, enfim seguir o fenomenal conselho do rei de copas em Alice no País das Maravilhas: ``Comece pelo começo e vá prosseguindo até chegar ao fim, e então pare''. Esta lista, agora afinal completa (ao que parece, pace opiniões divergentes sobre a insuficiência da documentação de certas provas), começa de uma forma modesta: os grupos cíclicos ${\bf Z}/p{\bf Z}$ de ordem finita p são simples, não tendo nenhum subgrupo normal, de fato não tendo subgrupo algum. Em ordem de complexidade vem os grupos alternados A<sub>n</sub> para $n\ge 5$, mas não só a prova da simplicidade destes grupos é mais complicada como existem as ``exceções'' A₃ e A₄.

Os próximos grupos simples da lista são os grupos clássicos sobre corpos finitos listados em 1., que tem uma forte tendência à simplicidade, embora existam exceções. O padrão da procura é as provas de simplicidade ficarem cada vez mais complexas em cada família infinita, com esta complexidade atestada pela existência de exceções, até o ponto em que aparecem exceções fora das famílias: os grupos simples esporádicos, vinte e seis grupos simples que não se enquadram em nenhuma das famílias infinitas.

Os grupos alternados e os grupos clássicos se manifestam a partir de uma ação natural, os grupos alternados A_n aparecendo como permutações pares do conjunto $\{ 1,\ldots ,n\}$ e os grupos clássicos como homorfismos de espaços vetoriais ou de espaços projetivos (submetidos a restrições de preservar formas). Outros grupos simples finitos foram descobertos em situações similares, como grupos de permutação de sistemas combinatórios. A situação geral pode ser formalizada da seguinte forma: dada uma categoria C e um objeto C de C, uma representação de um grupo G em C é um homomorfismo de grupos

$$\rho:G\longrightarrow {\it Aut}_{\bf C}(C,C),$$

onde ${\it Aut}_{\bf C}(C,C)$ são os homomorfismos em ${\it Hom}_{\bf C}(C,C)$ que admitem inversa. O conjunto ${\it Aut}_{\bf C}(C,C)$ tem uma estrutura de grupo dada pela composição categórica $\circ$ (ver A.1). Para ${\bf C}={\bf Vect}_k$, a categoria de espaços vetoriais sobre um corpo k, esta situação é chamada de representação linear, e para ${\bf C}={\bf Conj}$, a categoria dos conjuntos, é usada a terminologia ação. A representação é fiel se $\rho$ for monomorfismo, e o grau da representação é a cardinalidade de C.

Tipicamente C é uma categoria concreta, admitindo um funtor de esquecimento ${\bf C} \rightarrow {\bf Conj}$: os objetos de C são conjuntos dotados de estrutura. Se $\rho$ for uma representação em C, para $c\in C$ o grupo de isotropia G_c é o subgrupo de G dado por

$$G_c:=\{\ g\in G\ \vert\ \rho(g)(c)=c\ \}.$$

A representação é transitiva se para $c_1,c_2\in C$ existir um $g\in G$ com $\rho(g)(c_1)=c_2$, e é regular se, além de transitiva, o grupo de isotropia G_c de qualquer $c\in C$ é trivial, de forma que em uma representação regular para $c_1,c_2\in C$ existe um único $g\in G$ com $\rho(g)(c_1)=c_2$. Vale que se $\rho$ for transitiva (resp., regular) então

$$card(G)=card(C).card(G_c)\ {\rm para\ todo\ } c\in C\qquad {\rm (resp.,}\ card(G)=card(C)).$$

Dada uma representação $\rho$ de G em C define-se, para n inteiro positivo,

$$C^{[n]}:=\{\ (c_1,\ldots,c_n)\ \vert\ c_i\not= c_j \ {\rm para}\ i\not= j\ \}\subset C^n,$$

e a representação $\rho$ se estende para uma representação $\rho_n$

$$\rho_n(g)((c_1,\ldots,c_n))=(\rho(g)(c_1), \ldots ,\rho(g)(c_n)).$$

A representação $\rho$ é chamada n-transitiva de $\rho_n$ for transitiva e estritamente n-transitiva se $\rho_n$ for regular. Como exemplos: o grupo simétrico S_n é estritamente n-transitivo, e se n>2 o grupo alternado A_n é estritamente (n-2)-transitivo; além disso, os únicos grupos (n-2)-transitivos de grau n são S_n e A_n, e o único grupo (n-1)-transitivo de grau n é S_n.

O grupo clássico $PGl_2({\bf F}_q)$ age naturalmente na reta projetiva ${\bf F}_q\cup \{\infty\}$, o grupo de isotropia de $\infty$ sendo dado por

$$PGl_2({\bf F}_q)_\infty=\{ \begin{pmatrix}a&b\\ 0&d\end{pmatrix} \vert\ ad\not= 0\ \},$$

(identificando a classe de equivalência com alguma matriz representante). Com esta representação $PGl_2({\bf F}_q)_\infty$ é estritamente 2-transitivo de grau q e $PGl_2({\bf F}_q)$ é estritamente 3-transitivo de grau q+1.

Se q=(q')² for um quadrado então $\sigma:\alpha\mapsto \alpha^{q'}$ é automorfismo involutivo de ${\bf F}_q$, que pode ser extendido a um automorfismo da reta projetiva ${\bf F}_q\cup \{\infty\}$ por $\sigma(\infty)=\infty$. Vendo $PGl_2({\bf F}_q)$ como grupo de transformações lineares fracionárias ((2.3), isto é, identificando $\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ com $x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}$), e considerando o grupo $H({\bf F}_q)$ de transformações na reta projetiva ${\bf F}_q\cup \{\infty\}$ dado por

$$H({\bf F}_q)= \{\ x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}\ \vert\ ad-bc\i... ...a(x)+d}\ \vert \ ad-bc\in {\bf F}_q\setminus {\bf F}_{q'}\ \},$$

o grupo de isotropia de $\infty$ é dado por

$$H({\bf F}_q)_\infty=\{\ x\mapsto ax+b\ \vert\ a\in {\bf F}_{... ...\sigma(x)+b\ \vert \ a\in {\bf F}_q\setminus {\bf F}_{q'}\ \}.$$

Com estas representações o grupo $H({\bf F}_q)_\infty$ é estritamente 2-transitivo de grau q e o grupo $H({\bf F}_q)$ (que não é isomorfo a $PGl_2({\bf F}_q)$) é estritamente 3-transitivo de grau q+1. Um teorema de Zassenhaus, algo no espírito do teorema de classificação, afirma que isto esgota a lista de grupos estritamente 3-transitivos: qualquer grupo estritamente 3-transitivo ou é um $PGl_2({\bf F}_q)$ ou é um $H({\bf F}_q)$.

Existem grupos estritamente 4-transitivos e grupos 5-transitivos (não isomorfos a grupos simétricos e alternados), mas segue do teorema de classificação que não existem grupos n-transitivos para $n\ge 6$. De fato, Jordan mostrou em 1872 que para $n\ge 4$ só podem existir grupos estritamente n-transitivos (não isomorfos a grupos simétricos ou alternados) se n=4, e neste caso o grau da representação é 11, ou n=5, e neste caso o grau da representação é 12. Estas cotas são atingidas: existem grupos assim. De fato, existem grupos assim que são grupos simples e esporádicos (isto é, não isomorfos a nenhum elemento das famílias clássicas). Estes grupos são os grupos M₁₁ e M₁₂ descobertos por Mathieu em 1861.

Frequentemente a categoria C em que se representa um grupo tem aspectos combinatórios interessantes. Por exemplo, um sistema de Steiner $\mathcal{ S}_{r,s,t}$ de tipo (r,s,t) consiste em um conjunto A de cardinalidade t e um conjunto $\{ B_i\}$ de subconjuntos $B_i \subset A$, com card(B_i)=s tal que para cada subconjunto $C\subset A$ com card(C)=r existe exatamente um i com $C\subset B_i$. Uma estrutura assim admite morfismos evidentes (os subconjuntos B_i de um sistema sendo levados nos subconjuntos do outro), definindo uma categoria St que, por serem como são as coisas, é muito pequena: neste mundo existem poucos sistemas de Steiner. Por exemplo, a menos de isomorfismo só existe um sistema de Steiner $\mathcal{ S}_{r,s,t}$ de tipo (r,s,t)=(5,6,12), ou de tipo (5,8,24). No entanto, uma surpresa:

$$M_{12}={\it Aut}_{\bf St}(\mathcal{ S}_{5,6,12}, \mathcal{ S}_{5,6,12}),$$

isto é o grupo de automorfismo do sistema de Steiner $\mathcal{ S}_{5,6,12}$ é o grupo de Mathieu M₁₂. O grupo

$$M_{24}={\it Aut}_{\bf St}(\mathcal{ S}_{5,8,24}, \mathcal{ S}_{5,8,24})$$

é ainda outro grupo simples descoberto por Mathieu; M₁₂ e M₂₄ são os únicos grupos 5-transitivos conhecidos (a parte os grupos simétricos e alternados).

Dado um sistema de Steiner de tipo (r,s,t) sobre um conjunto A, destacando um elemento $a\in A$ define-se um sistema de Steiner de tipo (r-1, s-1,t-1) sobre $A\setminus \{a\}$ tomando como subconjuntos $B_i\setminus \{a\}$ onde B_i são todos os subconjuntos do sistema original que contem a. Dado o sistema $\mathcal{ S}_{5,6,12}$, o sistema $\mathcal{ S}_{4,5,11}$ que resulta deste processo tem como grupo de automorfismos o grupo de Mathieu M₁₁, e dado o sistema $\mathcal{ S}_{5,8,24}$, o sistema $\mathcal{ S}_{4,7,23}$ que resulta deste processo tem como grupo de automorfismos um quarto grupo simples M₂₃ ainda descoberto por Mathieu. O grupo M₁₁ é o grupo de isotropia de um símbolo de M₁₂, e o grupo M₂₃ é o grupo de isotropia de um símbolo de M₂₄. O grupo de isotropia de um símbolo de M₂₃ é ainda um último grupo simples M₂₂ descoberto por Mathieu; este grupo M₂₂ é um subgrupo de ${\it Aut}_{\bf St} (\mathcal{ S}_{3,5,22}, \mathcal{ S}_{3,6,22})$ de índice dois, onde $\mathcal{ S}_{3,5,22}$ é o sistema de Steiner obtido a partir de $\mathcal{ S}_{4,5,23}$.

Outros grupos começam a se repetir, ou não são simples: por exemplo, o grupo de isotropia de um símbolo de M₂₃ é o grupo clássico $PSl_3({\bf F}_4)$ (e logo não é um grupo novo, esporádico), enquanto que o grupo de isotropia de um símbolo de M₁₁ tem um subgrupo (isomorfo a $PSl_2({\bf F}_9)$) de índice dois (e logo normal) e assim este grupo não é simples.

Os grupos de Mathieu M₁₁,M₁₂,M₂₂,M₂₃ e M₂₄ foram os únicos grupos esporádicos descobertos no século XIX. Suas ordens são dadas por:
$$\begin{align}card(M_{11})&=2^4.3^2.5.11\notag\\ card(M_{12})&=2^6.3^3.5.11\not... ...7.3^2.5.7.11.23\notag\\ card(M_{24})&=2^{10}.3^3.5.7.11.23.\notag \end{align}$$
Os demais vinte e cinco grupos esporádicos foram descobertos no século XX; de fato, foram decobertos entre 1950 e 1980.

Referências.

A bibliografia sobre grupos clássicos é imensa. Os livros de Weyl [W] e de Dieudonné [D] são clássicos.

A classificação dos grupos simples deveria ser cantada em versos épicos. Enquanto tal não acontece, permanece dispersa em uma quantidade de artigos feitos por e para especialistas. Quem mais trabalhou para remediar este estado de coisas foi Daniel Gorenstein, do qual citamos [Go].