A Álgebra Envolvente

No que se segue $k={\bf C}$ será uma hipótese simplificadora (sem ser trivializante).

Definimos a álgebra $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ como sendo a álgebra (associativa) gerada pelos símbolos E,F,K,K^-1 e L submetidos às relações

$$KK^{-1}=K^{-1}K=1,\qquad KEK^{-1}=q^2E, \qquad KFK^{-1}=q^2F,$$

e

$$[E,F]=L,\qquad (q-q^{-1})L=K-K^{-1},$$

$$[L,E]=q(EK+K^{-1}E), \qquad [L,F]=-q^{-1}(FK+K^{-1}F).$$

Se $q=\pm 1$ então K²=1, e K comuta então com os demais geradores, estando assim no centro $Z(\mathcal{ U}_{\pm 1}(sl_2))$. Se q=1 então fazendo X=EK, Y=F e H=LK valem as relações

[X,Y]=[EK,F]=[E,F]K=LK=H,

[H,Y]=[LK,EK]=[L,E]=2EK=2X

e

[H,Y]=[LK,F]=[L,F]K=-2FK²=-2Y.

Cotejando estas relações com as relações de definição de $\mathcal{ U}(sl_2)$ (listadas em 1. de (I.4)), fica claro que existe em epimorfismo em ${\bf Alg}_k$

$$\mathcal{ U}(sl_2)\longrightarrow \mathcal{ U}_1(sl_2)$$

satisfazendo $X\mapsto EK, Y\mapsto F$ e $H\mapsto LK$, e de fato vale

$$\mathcal{ U}_1(sl_2)=\mathcal{ U}(sl_2)[K]/ (K^2-1),$$

e a álgebra $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ pode assim ser vista como uma deformação da álgebra envolvente $\mathcal{ U}(sl_2)$, como a notação sugere.

A álgebra envolvente quântica $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ assim definida pode ser apresentada, se $q\not=\pm 1$, de uma forma mais simples como sendo a álgebra (associativa) gerada pelos símbolos E,F,K e K^-1 submetidos às relações

$$KK^{-1}=K^{-1}K=1,\qquad KEK^{-1}=q^2E, \qquad KFK^{-1}=q^2F,$$

como acima, e

$$[E,F]=\frac{K-K^{-1}}{q-q^{-1}}.$$

O isomorfismo entre estas duas apresentações identifica letras que combinam, o único ponto não trivial é mostrar que as relações ``mais complexas'' envolvendo L, da primeira apresentação, são satisfeitas, mas isto é uma fácil manipulação. Supondo $q\not=\pm 1$, será usada preferencialmente a segunda apresentação de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$, por ser mais simples.

Assim, $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ é noetheriana, sem divisores de zero, e tem como base

$$\{\ E^iF^jK^l\ \vert\ i,j\in {\bf N}, l\in {\bf Z}\ \};$$

além disso, $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ admite um automorfismo

$$\omega: \mathcal{ U}_q(sl_2)\rightarrow \mathcal{ U}_q(sl_2)$$

satisfazendo $E\mapsto F, F\mapsto E$ e $K\mapsto K^{-1}$, e um antiautomorfismo

$$\tau:\mathcal{ U}_q(sl_2)^{op} \rightarrow \mathcal{ U}_q(sl_2)$$

satisfazendo $E\mapsto E, F\mapsto F$ e $K\mapsto K^{-1}$. (Dada uma álgebra A sobre k, objeto de ${\bf Alg}_k$, a álgebra oposta A^op tem o mesmo espaço vetorial subjacente e a multiplicação oposta: o produto ab em A^op é o produto ba em A. Esta definição é uma dádiva do fato de os axiomas de anel serem auto-duais; se A é comutativa então A=A^op).

Dotando os geradores dos graus gr(E)=1, gr(F)-1 e gr(K)=gr(K^-1)=0, as relações que definem $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ são homogêneas, e logo $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ admite uma gradação natural em que o monômio E^IF^jK^l tem grau i-j. Se $u\in \mathcal{ U}_q(sl_2)$ tem grau g então se deduz das relações de definição que

KuK^-1=q^2gu.

Se q nao for raiz da unidade estes autovalores q^g são distintos, e a parte homogênea de grau g de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ são os autoespaços de $u\mapsto KuK^{-1}$. Se q for raiz da unidade a graduação de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ refina esta decomposição em autoespaços.

A subálgebra $\mathcal{ U}^+$ (resp., $\mathcal{ U}^-$) de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ gerada por E (resp., por F) tem como base $\{\ E^i\ \vert\ i\in{\bf N} \ \}$ (resp., $\{\ F^j\ \vert\ j\in{\bf N} \ \}$). Assim, $\mathcal{ U}^+$ e $\mathcal{ U}^-$ são comutativas, isomorfas a k[T].

A subálgebra $\mathcal{ U}^0$ de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ gerada por K e K^-1 tem como base $\{\ K^l\ \vert\ l\in{\bf Z} \ \}$. Assim, $\mathcal{ U}^0$ é comutativa, isomorfa à localização k[T,T^-1] de k[T].

A álgebra envolvente quântica tem $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ admite um elemento de Casimir quântico C_q dado por

$$C_q=EF+\frac{q^{-1}K+qK^{-1}}{(q-q^{-1})^2}= FE+\frac{qK+q^{-1}K^{-1}}{(q-q^{-1})^2}.$$

Este elemento C_q está no centro $Z(\mathcal{ U}_q(sl_2))$ de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ e satisfaz

$$\omega(C_q)=C_q=\tau(C_q).$$

A álgebra envolvente quântica tem $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ uma estrutura de álgebra de Hopf, como se esperaria por ser deformação de $\mathcal{ U}(sl_2)$, dada pela comultiplicação

$$\Delta:E\mapsto E\otimes 1+K\otimes E,$$

$$\Delta:F\mapsto F\otimes K^{-1}+1\otimes F,$$

$$\Delta:K\mapsto k\otimes K,$$

a co-unidade

$$\epsilon:E,F\mapsto 0,\qquad K\mapsto 1,$$

e o antípoda

$$S:E\mapsto -K^{-1}E,\qquad F\mapsto -FK, \qquad K\mapsto K^{-1}.$$

Novamente $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ não é nem comutativa nem co-comutativa, como se vê do fato de o antípoda não ser involutivo.