RES: Geometria

["Eric Campos Bastos Guedes" <mathfire@xxxxxxxxxx>]

  *** Dado um triangulo ABC, retangulo em A. É dado um segmento de reta que
liga o vertice A a um ponto D da hipotenuza, o comprimento desse segmento é
9. Sao dadas duas circunferencias, de mesmo raio, inscritas nos triangulos
ABD e ACD. Qual a area do triangulo ABC?

A solucao, se for unica, tem que ser 81, pois podemos imaginar um triangulo
retangulo isosceles ABC de vertice A, dividido pela sua altura AD (que vale
9 pela hipotese do problema) onde nos triangulos ABD e ACD se inscrevem
circulos de raios iguais. A area de ABC eh 81.

Solucao "na marra":

"Basta" somar as areas dos triangulos ABD e ACD.

Chamando de a1 o angulo ADB; a2 o angulo ADC; b1 o angulo BAD; b2 o angulo
CAD. Note que:

[1]	b1 + b2 = Pi/2
[2]	a1 + a2 = Pi

Uma formula conhecida e que pode ser deduzida facilmente dah a area S de um
triangulo de angulos u, v e lado entre eles compreendido igual a c.

[3]	S = (1/2)*(c^2)*(cot(u)+cot(v))^(-1)

Entao a soma das areas dos triangulos ABD e ACD eh:

[4]	(1/2)*(9^2)*K

onde

[5]	K = (cot(a1) + cot(b1))^(-1) + (cot(a2) + cot(b2))^(-1)

Em seguida usamos [1] e [2] para eliminar a2 e b2 em [5] encontrando a
equacao

[6]	K = 1/(cot(a1) + cot(b1)) + 1/(-cot(a1) + tg(b1))

Sejam agora R o centro da circunferencia inscrita em ABD e S o centro da
circunferencia inscrita em ACD. Sejam P e Q respectivamente os pontos onde
as circunferencias de centros R e S tangenciam o segmento AD. Note que:

[7]	AP/PR = cot(b1/2)
[8]	PD/PR = cot(a1/2)

Somando vem

[9]	AD/PR = (AP+PD)/PR = cot(b1/2) + cot(a1/2)

Note ainda que

[10]	AQ/SQ = cot(b2/2)
[11]	QD/SQ = cot(a2/2)

Somando vem

[12]	AD/SQ = (AQ+QD)/SQ = cot(b2/2) + cot(a2/2)

Como PR = SQ, de [9] e [12] vem

[13]	cot(b1/2) + cot(a1/2) = cot(b2/2) + cot(a2/2)

Usando [1] e [2] para eliminar a2 e b2 de [13] obtemos

[14]	cot(b1/2) + cot(a1/2) = tan(Pi/4+b1/2) + tan(a1/2)

notando que 0 < a1,a2 < Pi e que 0 < b1,b2 < Pi/2, resolvemos [14] com um
software de computacao algebrica (por exemplo, o Maple) encontrando 2
possiveis valores para a1 em funcao de b1. Substituindo esses valores de a1
(em funcao de b1) em [6] obtemos expressões que apos simplificadas resultam
em 2. Exatamente 2. Isto eh K=2. Substituindo K=2 em [4] encontramos a area
procurada.

[4']	(1/2)*(9^2)*(2) = 81.

A area procurada eh 81.

No Maple podemos encontrar o valor de K com os comandos:

>assume(b2<Pi/4,b2>0);assume(a2<Pi,a2>0);
>assume(b1<Pi/4,b1>0);assume(a1<Pi,a1>0);
>a2 := Pi - a1; b2 := Pi/2 - b1;
>K := 1/(cot(a1)+cot(b1))+1/(cot(a2)+cot(b2));
>eq1 := cot(a1/2)+cot(b1/2)=cot(a2/2)+cot(b2/2);
>sols := solve(eq1,a1);
>K1 := subs(a1=sols[1],K);
>K2 := subs(a1=sols[2],K);
>simplify(expand(expand(K1)));

			2

>simplify(expand(expand(K2)));

			2

Eric.