Re: Olimpíada Brasileira (retificacao)

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

Escrever com pressa sempre nos leva a cometer erros. Retificando o item de 
numero 1) :

1) Coloque a equacao na forma x^2 - 3yzx + y^2 + z^2 = 0. Imagine que isso e 
uma equacao do 2 grau em "x". Como (1,1,1) e solucao, supondo "y" e "z" 
constantes, entao :

x^2 - 3x + 2 = 0 tera a solucao x=1. Isto implica a solucao x=2, ou seja, o 
trio (2,1,1) tambem e solucao da equacao original em tres variaveis. Como a 
equacao e simetrica, (1,2,1) e (1,1,2) tambem sao solucoes. Fixando qualquer 
uma delas e olhando para equacao original em tres variaveis como uma equacao 
do 2 grau em "y" ou "z" surgira um outro trio, por simetria saira um outro, 
por simetria um outro, por simetria um outro e assim vai ...



>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Olimpíada Brasileira
>Date: Wed, 30 May 2001 14:10:32
>
>Ola Fabio Arruda,
>Ola Colegas da Lista,
>
>Cordiais Saudacoes a Todos !
>
>
>A questao que eu propus - retirada das olimpiadas russas - foi :
>
>Mostre que a equacao x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz tem infinitas solucoes (x,y,z)
>formadas somente por numeros inteiros. Eu nao disse que ela SOMENTE TEM
>SOLUCOES INTEIRAS, EM NUMERO INFINITO.
>
>E uma questao que me pareceu interessante porque nao exige nenhum
>conhecimento sofisticado algum, podendo qualquer aluno de 6 ou 7 serie
>resolve-la.
>
>Para ajudar, dou a sugestao :
>
>1) Coloque a equacao como x^2 - 2yzx + y^2 + z^2 = 0. Imagine que isso e 
>uma
>equacao do 2 grau em "x".
>
>2) Encontre uma solucao para a equacao do 2 em "x" acima ( ex: (1,1,1))
>
>3) Mostre que esse fato implica na existencia de uma outra raiz inteira 
>para
>a equacao
>
>4) Encontre essa outra raiz. Isto fornece uma segunta solucao
>
>5) Verifique que q equacao e simetrica nas 3 variaveis. Muodifique as
>variaveis.
>
>6) O processo acima pode ser repetido infinitamente ...
>
>Voce(s) depois pode(m) querer estudar (como eu fiz ) a equacao :
>
>x^2 + y^2 + z^2 = Kxyz.
>
>1) Existem infinitos K para os quais a equacao correspondente tem infinitas
>solucoes inteiras ?
>2) Se sim a pergunta 1), e possivel caracterizar estes K ?
>
>Um Grande abraco a Todos
>Paulo Santa Rita
>4,1108,30052001
>
>Em tempo : Alguem conhece a demonstracao de Euler de que 26 e o unico 
>numero
>natural que esta entre um quadrado perfeito e um cubo perfeito ?
>
>
>
>
>>From: Fábio Arruda de Lima <fabioarruda@enter-net.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Subject: Olimpíada Brasileira
>>Date: Tue, 29 May 2001 20:55:03 -0300
>>
>>Galera estava viajando e "cuidando" do dinheiro de vocês.
>>Vou começar pelas extremidades. Lembro-me da última questão deixada pelo
>>Paulo Santa Rita.
>>Prove que x^2+y^2+z^2=3*x*y*z  possui apenas solução inteira e são
>>infinitas.
>>Antes de entrar no mérito da questão, gostaria de comentar um assunto
>>recente desta lista, referente ao conteúdo programático da OMB. Parece-me
>>que as Olimpíadas dos outros regioes: URSS, USA, Hungria,
>>Asiática,...exigem muito mais "conhecimento matemático" que a nossa. Vejo
>>que a OBM, na forma como está, mede apenas criatividade (que é uma
>>inspiração de momento). Entendo que se exige pouco conhecimento matemático
>>na OBM. Acho também que ela privilegia o aluno mais treinado, justamente
>>porque os assuntos não são ensinados no segundo grau. Resolver problemas 
>>de
>>matemática está intimamente relacionado a qual o tamanho da caixa de
>>ferramentas (conjunto de técnicas) que cada um possui, o resto é
>>inspiração. A conjugação de técnicas permite resolver a grande maioria dos
>>problemas. Acho que poderíamos fazer um mesclado entre as duas coisas:
>>conhecimento e criativadade.
>>Voltando a questao. Usaremos uma técnica muito conhecida na
>>Informática:"dividir para conquistar". Assim, vamos separar o conjunto dos
>>inteiros em positivos e negativos. Em seguida, tomamos apenas a parte
>>positiva, a qual pode ser dividida em pares e impares. Assim, nós 
>>dividimos
>>o nosso raio de ação, atuando apenas em pequenas partes do conjunto total
>>(inteiros). Agora, veremos o comportamento da soma dentro do próprio
>>conjunto:
>>Com dois números:
>>par+par=par
>>impar+impar=par
>>par+impar=impar+par=impar
>>Com três números:
>>par+par+par=par
>>par+impar+par=impar
>>impar+impar+par=par
>>impar+impar+impar=impar
>>Assim, podemos testar as variáveis x,y e z, em termos de pares e impares e
>>continuar a solução. Tentem é um bom exercício...
>>Obrigado pela atenção
>>Fábio Arruda
>>
>>
>>
>>
>
>_________________________________________________________________________
>Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
>

_________________________________________________________________________
Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.