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1)
Num polígono convexo de n lados, a soma de todos os ângulos
internos tem que ser pi*(n-2). Isso é fácil de ver, basta dividir o
polígono em triângulos. Seja a um dos ângulos internos. Então a + (soma dos
outros) = pi*(n-2). Se a >= (soma dos outros), então a >= pi*(n-2)/2.
( >= significa "maior ou igual"). Como n>=4, a
>=pi. Ora, se você tem um ângulo interno maior que pi, não é um polígono
convexo... Absurdo, logo, a < (soma dos outros).
2)
Você não disse se o polígono tem que ser convexo, mas eu vou
supor que é (porque estou com preguiça de pensar o que acontece se ele não for
^_^ ). Chame os vértices de p1, p2, ..., pn. Divida o polígono em triângulos
começando no ponto p (um ponto interno qualquer). Triângulos p-p1-p2,
p-p2-p3, etc.) Em cada triângulo p-p(k) - p(k+1) vale que d(p,p(k)) +
d(p,p(k+1)) > d(p(k), p(k+1)), onde d(a,b) é a distância entre os dois
pontos, o tamanho do segmento. Juntando todas essas desigualdades (uma para cada
um dos n triângulos), temos:
2*d(p,p1) + 2*d(p,p2) + ... + 2*d(p,pn) > d(p1,p2) +
d(p2,p3) + ... + d(p(n-1), pn) + d(pn,p1)
Ou seja,
2*(soma dos segmentos que unem p aos
vertices) > perímetro do polígono.
- Juliana
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