RES: [obm-l]

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade, o
problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadores de
Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas nao
necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, para se decidir
se eh mesmo um ponto  extremo e, se sendo de fato ponto extremo, eh maximo
ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda ordem, no caso
em que o problema, como este, tem funcao objetivo e restricoes com derivadas
parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além disto, precisamos
garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de modo geral, exige
condicoes de convexidade ou concavidade.
Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a casos como este,
em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam simetria. Nao me lembro
dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que o ponto eh
maximo ou minimo global.

Artur



 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de kleinad2@globo.com
Enviada em: domingo, 2 de outubro de 2005 03:14
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RE: [obm-l] 


Olá!

Bem, todas as n raízes de p são reais (para que faça sentido falar que todas
são negativas), portanto p(x) = (x + y_1)*(x + y_2)* ... *(x + y_n), onde
y_i > 0 para todo i. A idéia é encarar p(1) como função de y_1, ..., y_n
sujeita às condições y_i > 0 e y_1*...*y_n = 1, e usar multiplicadores de
lagrange para concluir que y_1 = ... = y_n = 1 gera um mínimo dessa função
sobre a superfície y_1*...*y_n = 1.

Justamente, por esse método, notando que estamos com f(y_1,..., y_n) = p(1)
e g(y_1,...,y_n) = y_1*...*y_n = 1 boas o suficiente para aplicar lagrange,
vem que existe um real u tal que

f_(y_i) = u*g_(y_i) para todo i, onde h_(y_i) é a derivada parcial de h
em relação à variável y_i.

Assim, temos o seguinte:
f(y_1,...,y_n)/(1 + y_i) = u*g(y_1,...,y_n)/y_i para todo i, de maneira
que

y_i/(1 + y_i) = y_j/(1 + y_j) ==> y_i = y_j para todo i, j.

Como o produto de toda a galera é 1, vem que y_1 = ... = y_n = 1 para todo
mundo, de modo f(1,...,1) = 2^n é um ponto de mínimo, logo p(1) >= 2^n
quaisquer
que sejam as raízes negativas com módulo dando produto 1.

[]s,
Daniel

 '>'seja um polinômio de grau n. todas as suas raízes são < 0. O termo 
independente
 '>'e o coeficiente da maior potência tem valores númericos igual a
 '>'unidade. Provar que P(1) > 2 elevado a n ; ou P(1)  = 2 elevado a n.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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