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Existem S (finito) estados da natureza.Considere
três ativos com vetor de retornos r1, r2 e r3 e preços hoje p1, p2 e p3. Seja
r3 tal que r3=a1*r1 + a2*r2. Afirmo que p3= a1*p1 + a2*p2. (hipóteses: vetores
são não negativos e diferentes de zero ). Provando: Suponha que p3> a1*r1 + a2*r2. Considere
o portfolio z= (a1*p1, a2*p3, -(a1*p1+a2*q2)) formado pelos três ativos( esse
vetor dá a quantidade comprada de cada um dos ativos). Temos que <p,z>=0
. Então sempre posso adicionar mais desse portfolio na minha carteira. Como r3=a1*r1
+ a2*r2, o valor da meu portfolio amanhã é , para todo s pertecente a S, rs1*z1+rs2*z2+rs3*z3= rs1*a1p3 + rs2*a2p3 –
rs3(a1p1+ a2p2)= rs3 (p3 – (a1p1+ a2p2)). Como r3 é não negativo e nãozero,
rs1*z1+rs2*z2+rs3*z3 >= 0 para todo s e , rs1*z1+rs2*z2+rs3*z3 > 0 para
algum s. Por monotonicidade estrita das preferências ( hip comum na economia,
explico pra quem quiser) , os consumidores podem sempre aumentar seu nivel de
utilidade adicionando z na sua carteira. Mas isso em equilíbrio não pode
acontecer. Absurdo Suponha que p3< a1*r1 + a2*r2. raciocínio
análogo. Logo p3 = a1*r1 + a2*r2. No exercício temos r1= (120,120), r2 =(200,50)
e r3= (50, 0), p1 = 100 , p2= 100 Mas r3= (-50/360)* r1 +(1/3)*r2. logo p3 =
(-50/360) * 100 + (1/3)* 100 =~19,........ Se não errei conta é isso. Conclusão: independe da probabilidade De: owner- Um dos problemas mais interessantes de economia (ou, mais precisamente,
de finanças) e que é 100% "on-topic" (na minha opinião) é o da
avaliação de uma opção de compra. Eu acho "on-topic" porque, entre
outras coisas, o IMPA oferece um curso de mestrado em métodos matemáticos
para finanças, que trata principalmente da avaliação de derivativos (dos quais
as opções são um exemplo importante) A versão mais básica do problema é ilustrada pelo seguinte exemplo: Hoje, você compra por $100 um bilhete de uma loteria que, daqui a um
ano, vai pagar R$200 com probabilidade p ou R$50 com probabilidade 1-p. Supondo que você pode aplicar ou tomar emprestado reais a 20% ao ano,
quanto você pagaria hoje pelo direito (mas não a obrigação) de comprar um dado
bilhete, 1 minuto após o sorteio (mas antes do pagamento do prêmio), por R$150
? Isso significa que se o bilhete pagar R$200, o seu lucro terá sido
de R$50. Caso contrário, seu lucro terá sido zero (você não terá
prejuízo, pois tem o direito mas não a obrigação de adquirir o bilhete e,
naturalmente, não vai comprar por R$150 um bilhete que só vale R$50). A pergunta interessante é: a resposta depende de p? Dica: suponha que você pode comprar frações de bilhete. Em geral, se o bilhete vale hoje S e, daqui a um ano, vai valer H com
probabilidade p e L com probabilidade 1-p, e se você aplica ou toma emprestado
reais a uma taxa de juros de i, quanto você paga pelo direito de adquirir
um bilhete, logo após o sorteio, pelo preco de K? []s, Claudio. |