i) Um número natural n de 3 ou menos algarismos é divisível por 7 se
ocorrer o que segue:
Dado n=abc ( a,b e c são os algarismos do número) se, 2*a+3*b+c é
divisível por 7, então n é divisível por 7.
ii) Um natural n com mais de 3 algarismos é divisível por 7 se,
separado
em classes de 3 algarismos a partir do último (inclusive), a diferença
entre a soma das classes de ordem ímpar e de ordem par for um número
divisível por 7, independente do sinal:
Dado n=abcdefg
Classe1: efg
Classe2: bcd
Classe3: a
S(I)=efg+a ( soma das classes de ordem ímpar)
S(P)=bcd (soma das classes de ordem par)
Se S(I) - S(P) for divisível por 7, então n é divisível por 7.
Mod 7:
1 == 1
10 == 3
100 == 2 ==
(abc) = 100a + 10b + c == 2a + 3b + c (mod 7)
Logo, 7 divide (abc) <== 7 divide 2a + 3b + c
1000 == -1
10000 == -3
100000 == -2 ==
(abcdef) = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f ==
-2a -3b -c + 2d + 3e + f == -(2a+3b+c) + (2d+3e+f) (mod 7)
Logo, 7 divide (abcdef) <== 7 divide -(2a+3b+c) + (2d+3e+f)
E por ai vai.... (???)
=> Eu gostaria apenas que alguem me explicasse como formalizar no final(utilizando
a demonstração acima),
pq o professor de matemática da minha escola disse que era o único a demons-
trar dessa maneira a divisibilidade por 7,por isso eu queria levar isso pra sala
amanha.
Grato por qualquer tipo de ajuda.
On Fri, 04 Nov 2005 21:20:34 -0200, Aldo Munhoz escreveu:
> De: Aldo Munhoz
> Data: Fri, 04 Nov 2005 21:20:34 -0200
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Novo na lista
>
> Dê uma olhada emhttp://www.bibvirt.futuro.usp.br/textos/hemeroteca/rpm/rpm43/rpm43_08.pdf
Adélman de Barros Villa Neto wrote: É verdade,talvez tenha me excedido.Desculpas então Buffara,é que eu preciso dessa demonstração para segunda-feira.Se não consegui terminar a demonstração que colocaram aqui é pq ainda estou no 3º ano do ensino medio e não tenho mts conhecimentos sobre congruencia.On Fri, 4 Nov 2005 18:17:00 -0300, fabiodjalma escreveu: De: fabiodjalma Data: Fri, 4 Nov 2005 18:17:00 -0300Para: obm-l@mat.puc-rio.br, obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] Novo na listaAdélman, acho que vc está se excedendo. Em primeiro lugar, as pessoas não são obrigadas a resolver os problemas colocados na nossa lista. Quando o fazem, é por gentileza. Se por acaso a solução não agradou, seja polido, agradeça e aguarde outra solução. No mais, já que você é novo na lista, vou te dizer uma coisa: os freqüentadores mais anti!
gos desta lista respeitam MUITO o Cláudio Buffara, não só por sua prestatividade ininterrupta como, e principalmente, por seu conhecimento matemático. Abraços. Fabio. Em (14:32:04), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Ok Buffara,mas eu ainda acho que seria bem mais facil admitir que também não sabe.Alem do que quero a demonstração usando apenas congruencia. Grato pela compreenção. On Fri, 04 Nov 2005 07:39:55 -0200, Claudio Buffara escreveu: De: Claudio Buffara Data: Fri, 04 Nov 2005 07:39:55 -0200 Para: Assunto: Re: [obm-l] Novo na lista Se voce nao entendeu do jeito que estah abaixo, entao acho que uma inducao formal nao vai ajudar... on 04.11.05 00:48, Adélman de Barros Villa Neto at animalneto@mensa.org.br wrote: Claudio Buffara:já que basta substituir por uma indução formal,pq você mesmo não substituiu?É exatamente isso que eu quero. On Wed, 02 Nov 2005 22:02:20 -0200, Aldo Munhoz escreveu: De: Aldo Munhoz Data: Wed, 02 Nov 2005 22:02:20 -0200 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Novo na lista Vejamos um exemplo, seja n=59325. Separamos o digito5 das unidades e do !
numero restante 5932, subtraímos o dobro destedígito, isto é: 5932-10=5922 Em seguida repetimos este procedimento até aobtençao de um número suficientemente pequeno que possamos reconhecer,facilmente, se é ou não divisivel por 7. 592-4=588 58-16=42 Como 42 é divisivel por 7, o criterio que vamosprovar é que este fato irá implicar que o numero original também deveraser divisivel por 7. Seja i o digito das unidades do numero n, entao n pode ser escrito como10k+i. (No exemplo acima k=5932 e i=5). No procedimento descrito acimaobtivemos um numero r como sendo k-2i. Feitas estas observacoes, serasuficiente provar que os numeros 10k+i e k-2i sao tais que, se um delesé multiplo de 7, o outro também é. Isto é, devemos provar a seguinteequivalencia: 10k+i é multiplo de 7 see k-2i é multiplo de 7. Demonstração: (=>) Se 10k+i é multiplo de 7, entao existe uminteiro m tal que 10k+i=7m e, portanto,k-2i=k-2(7m-10k)=k-14m+20k=21k-14m=7(3k-2m) o que imploca k-2i sermultiplo de 7. ( No exemplo acima, como 42 é div! isivel por 7, entao 588 também é. Sendo588 divisivel por 7, e! ntao 5932 também devera ser e, a divisibilidadedeste por 7 implica que 59325 devera ser divisivel por 7. Acho que isto prova o que você queria. Abraços, Aldo Claudio Buffara wrote: Po, amigo! A demonstracao estah essencialmente completa. Basta notar que10^6 == 1 (mod 7) e, portanto, a coisa toda se repete com periodo 6 no!
expoente de 10. Aquele "E por ai vai..." soh precisa ser substituido por umainducao formal, mas pra bom entenddor 99% de palavra deveria bastar.[]s,Claudio.on 02.11.05 15:38, Adélman de Barros Villa Neto at animalneto@mensa.org.brwrote: ninguem ainda?On Mon, 31 Oct 2005 23:14:38 -0200, "Adélman de Barros Villa Neto" escreveu: De: "Adélman de Barros Villa Neto" Data: Mon, 31 Oct 2005 23:14:38 -0200Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] Novo na listaOlá,estou procurando de um arquivo da lista onde é demonstrado um critério dedivisibilidade por 7.Alguem pode me ajudar?Encontrei essas mensagens mas emnem uma o autor completa a demonstração.Grato.Mod 7:1 == 110 == 3100 == 2 ==> (abc) = 100a + 10b + c == 2a + 3b + c (mod 7)Logo, 7 divide (abc) 7 divide 2a + 3b + c1000 == -110000 == -3100000 == -2 ==>(abcdef) = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f ==-2a -3b -c + 2d + 3e + f == -(2a+3b+c) + (2d+3e+f) (mod 7)Logo, 7 divide (abcdef) 7 divide -(2a+3b+c) + (2d+3e+f)E por ai vai....Ficou claro?Entao farelo pra voce tambem.[]s,Claudio. ! =======! ================================================================!
==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html======================= ================================================== =========================================================================Ins truções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html======================= ================================================== ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ---------- =========================================================================Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=============!
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