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[SPAM] Re: [obm-l] combinatoria dificil
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Content-Type: text/plain;
charset="iso-8859-1"
Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Oi Jo=E3o Victor, a quest=E3o =E9 que eu j=E1 havia escrito esta =
equa=E7=E3o. Acontece que ela =E9 "diofantina", admitindo infinitas =
solu=E7=F5es. Claro que, de acordo com as condi=E7=F5es do exerc=EDcio =
proposto deve-se conseguir restringir a quantidade delas para um =
n=FAmero bem menos (eu creio).
Amplexo.
Fernando
-------------------------------------------------------------------------=
-------
-------------------------------------------------------------------------=
-------
----- Original Message -----=20
From: Joao Victor Brasil=20
To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx=20
Sent: Monday, March 24, 2008 1:08 PM
Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil
Fernando,
Infelizmente n=E3o tenho, mas tenta ver algo nesse sentido:
19H + 13M =3D 1000, H=3D Homem e M=3DMulher
Joao Victor
=20
On 3/24/08, Fernando <artesmatematica@xxxxxxxxx> wrote:=20
Ol=E1 Jo=E3o Victor, boa tarde!
Voc=EA possui a solu=E7=E3o do problema abaixo?
Se SIM, poderia envi=E1-la para mim?
Sociedade Brasileira de Matem=E1tica
EUREKA! N=B014, 2002
VIII OLIMP=CDADA DE MAIO
Enunciados e Resultado Brasileiro
PRIMEIRO N=CDVEL
11/05/2002
PROBLEMA 1
Um grupo de homens, alguns dos quais acompanhados pelas esposas, =
gastaram 1000
d=F3lares num hotel. Cada homem gastou 19 d=F3lares e cada mulher, =
13 d=F3lares.
Determine quantas mulheres e quantos homens estavam no hotel.
http://www.obm.org.br/eureka/eureka14.pdf
acesso em 23/03/2008
Agrade=E7o sua aten=E7=E3o.
Amplexo.
Fernando Pinto
-------------------------------------------------------------------------=
---
-------------------------------------------------------------------------=
---
----- Original Message -----=20
From: Joao Victor Brasil=20
To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx=20
Sent: Monday, March 24, 2008 10:29 AM
Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil
=20
=C9 verdade pessoal. Errei e muito na minha resolu=E7=E3o.
Mas olha s=F3, concordo plenamente com a resposta do Henrique, 48 =
possibilidades.
Usando o princ=EDpio multiplicativo D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2 =
achei 72 possibilidades, me alertaram sobre as repeti=E7=F5es e analisei =
um modo de retir=E1-las.
D1H1:3 disc
D1H2: 2 disc=20
D2H1: 2 disc (repetir as mesmas disciplinas do dia 1)
D2H2: 1 disc
D3H1: 2 disc (apesar de sobrar somente uma disc, temos duas aulas)
D3H2: 1 disc
3*2*2*1*2*1 =3D 24. 72 - 24 =3D 48 poss.
Joao Victor
=20
On 3/20/08, Henrique Renn=F3 <henrique.renno@xxxxxxxxx> wrote:=20
Ol=E1 pessoal!
Acredito que a solu=E7=E3o do Salhab est=E1 correta. Seja Di o =
dia i e Hj o hor=E1rio j.
D1H1: 3 mat=E9rias
D1H2: 2 mat=E9rias (para n=E3o repetir a utilizada em D1H1)
D1: 6 possibilidades
Para D2, se escolhermos uma j=E1 utilizada em D1 ent=E3o n=E3o =
poderemos
utilizar a outra mat=E9ria utilizada em D1, sen=E3o D3 teria as =
mesmas
mat=E9rias. Assim, para D2 ter=EDamos uma j=E1 utilizada (2 =
mat=E9rias) e uma
n=E3o utilizada. Logo, 2*1 =3D 2. Como a ordem importa, temos =
2*2 =3D 4.
D3 s=F3 possui 2 formas, com as ordens das mat=E9rias trocadas.
Total: 6*4*2 =3D 48.
Essa =E9 uma forma mais l=F3gica de resolver o problema. Estive =
tentando
utilizar combinat=F3ria e tamb=E9m achei a resposta 48.
Sejam A,B,C as mat=E9rias. Quantas permuta=E7=F5es diferentes =
existem entre
A,A,B,B,C,C? Cada posi=E7=E3o seria um hor=E1rio em um dia, ou =
seja,
D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2. Bastaria calcular o n=FAmero de
permuta=E7=F5es com repeti=E7=E3o, ou seja, 6!/(2!*2!*2!) =3D =
720/8 =3D 90.
Sabemos que n=E3o podemos ter uma permuta=E7=E3o do tipo AABCBC, =
pois AA
representa a mesma mat=E9ria em D1H1 e D1H2. Ent=E3o sabemos que =
a
resposta =E9 menor que 90.
As formas inv=E1lidas ser=E3o:
Se as 3 mat=E9rias do mesmo tipo est=E3o juntas no mesmo dia, =
ex: AABBCC.
Existem 3! =3D 6 formas, considerando AA,BB,CC como 3 elementos
permutados entre si.
N=E3o h=E1 necessidade de verificar quando 2 mat=E9rias est=E3o =
no mesmo dia
pois cai no caso acima.
Quando h=E1 apenas 1 mat=E9ria repetida em 1 dia, ex: AABCBC, =
ent=E3o temos
12 formas para cada par da mesma mat=E9ria utilizada no mesmo =
dia. Se AA
est=E1 em D1 ent=E3o D2 pode ser BC ou CB e D3 pode ser BC ou =
CB, 2*2 =3D 4.
AA pode estar em D1,D2,D3. Assim, 4*3 =3D 12. Para BB e CC seria =
o
mesmo, dando um total de 3*12 =3D 36 formas quando h=E1 apenas =
uma mat=E9ria
que se repete no mesmo dia.
Assim, o total seria 90 - (6+36) =3D 90 - 42 =3D 48 formas =
distintas de
compor o hor=E1rio
Thelio, voc=EA poderia passar a fonte do problema e verificar se =
as
respostas s=E3o essas mesmo?
On 3/13/08, Thelio Gama <teliogama@xxxxxxxxx> wrote:
> =C9 pessoal...
>
> Achei muito dif=EDcil esta quest=E3o. Agrade=E7o se algu=E9m =
puder explic=E1-la.
>
> Thelio
>
> uma turma tem aulas =E0s 2=AA, 4=AA e 6=AA feiras, de 8-9 =
horas e de 11-12 horas. As
> mat=E9rias s=E3o portugues, matem=E1tica e ingles, cada uma =
com duas aulas
> semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito =
o hor=E1rio
> dessa turma?
> a)96 ; b) 144 ; c)192 ; d) 6! ; e) 120
--
Henrique
=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a =
lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
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<META http-equiv=3DContent-Type content=3D"text/html; =
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eu j=E1 havia escrito=20
esta equa=E7=E3o. Acontece que ela =E9 "diofantina", admitindo infinitas =
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Claro que, de acordo com as condi=E7=F5es do exerc=EDcio proposto =
deve-se conseguir=20
restringir a quantidade delas para um n=FAmero bem menos (eu =
creio).</FONT></DIV>
<DIV><FONT face=3DArial size=3D2></FONT> </DIV>
<DIV><FONT face=3DArial size=3D2>Amplexo.</FONT></DIV>
<DIV><FONT face=3DArial size=3D2>Fernando</FONT></DIV>
<DIV><FONT face=3DArial size=3D2></FONT> </DIV>
<DIV>
<HR>
<HR>
</DIV>
<BLOCKQUOTE=20
style=3D"PADDING-RIGHT: 0px; PADDING-LEFT: 5px; MARGIN-LEFT: 5px; =
BORDER-LEFT: #000000 2px solid; MARGIN-RIGHT: 0px">
<DIV style=3D"FONT: 10pt arial">----- Original Message ----- </DIV>
<DIV=20
style=3D"BACKGROUND: #e4e4e4; FONT: 10pt arial; font-color: =
black"><B>From:</B>=20
<A title=3Djvbrasil@xxxxxxxxx href=3D"mailto:jvbrasil@xxxxxxxxx";>Joao =
Victor=20
Brasil</A> </DIV>
<DIV style=3D"FONT: 10pt arial"><B>To:</B> <A =
title=3Dobm-l@xxxxxxxxxxxxxx=20
href=3D"mailto:obm-l@xxxxxxxxxxxxxx";>obm-l@xxxxxxxxxxxxxx</A> </DIV>
<DIV style=3D"FONT: 10pt arial"><B>Sent:</B> Monday, March 24, 2008 =
1:08=20
PM</DIV>
<DIV style=3D"FONT: 10pt arial"><B>Subject:</B> Re: [obm-l] =
combinatoria=20
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<DIV>Infelizmente n=E3o tenho, mas tenta ver algo nesse sentido:</DIV>
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t;=20
wrote:</SPAN>=20
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<DIV bgcolor=3D"#ffffff">
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<DIV><FONT face=3DArial size=3D2>Voc=EA possui a solu=E7=E3o do =
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abaixo?</FONT></DIV>
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mim?</FONT></DIV>
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<P><FONT color=3D#ff0000><STRONG><A=20
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=
target=3D_blank>http://www.obm.org.br/eureka/eureka14.pdf</A></STRONG></F=
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um modo de=20
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pessoal!<BR><BR>Acredito que a solu=E7=E3o do Salhab est=E1 =
correta. Seja Di o=20
dia i e Hj o hor=E1rio j.<BR><BR>D1H1: 3 mat=E9rias<BR>D1H2: 2 =
mat=E9rias=20
(para n=E3o repetir a utilizada em D1H1)<BR>D1: 6=20
possibilidades<BR><BR>Para D2, se escolhermos uma j=E1 utilizada =
em D1=20
ent=E3o n=E3o poderemos<BR>utilizar a outra mat=E9ria utilizada =
em D1, sen=E3o=20
D3 teria as mesmas<BR>mat=E9rias. Assim, para D2 ter=EDamos uma =
j=E1 utilizada=20
(2 mat=E9rias) e uma<BR>n=E3o utilizada. Logo, 2*1 =3D 2. Como a =
ordem=20
importa, temos 2*2 =3D 4.<BR><BR>D3 s=F3 possui 2 formas, com as =
ordens das=20
mat=E9rias trocadas.<BR><BR>Total: 6*4*2 =3D 48.<BR><BR>Essa =E9 =
uma forma=20
mais l=F3gica de resolver o problema. Estive =
tentando<BR>utilizar=20
combinat=F3ria e tamb=E9m achei a resposta 48.<BR><BR>Sejam =
A,B,C as=20
mat=E9rias. Quantas permuta=E7=F5es diferentes existem =
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Cada posi=E7=E3o seria um hor=E1rio em um dia, ou=20
seja,<BR>D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2. Bastaria calcular o =
n=FAmero=20
de<BR>permuta=E7=F5es com repeti=E7=E3o, ou seja, 6!/(2!*2!*2!) =
=3D 720/8 =3D=20
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tipo AABCBC,=20
pois AA<BR>representa a mesma mat=E9ria em D1H1 e D1H2. Ent=E3o =
sabemos que=20
a<BR>resposta =E9 menor que 90.<BR><BR>As formas inv=E1lidas=20
ser=E3o:<BR><BR>Se as 3 mat=E9rias do mesmo tipo est=E3o juntas =
no mesmo dia,=20
ex: AABBCC.<BR>Existem 3! =3D 6 formas, considerando AA,BB,CC =
como 3=20
elementos<BR>permutados entre si.<BR><BR>N=E3o h=E1 necessidade =
de verificar=20
quando 2 mat=E9rias est=E3o no mesmo dia<BR>pois cai no caso=20
acima.<BR><BR>Quando h=E1 apenas 1 mat=E9ria repetida em 1 dia, =
ex: AABCBC,=20
ent=E3o temos<BR>12 formas para cada par da mesma mat=E9ria =
utilizada no=20
mesmo dia. Se AA<BR>est=E1 em D1 ent=E3o D2 pode ser BC ou CB e =
D3 pode ser=20
BC ou CB, 2*2 =3D 4.<BR>AA pode estar em D1,D2,D3. Assim, 4*3 =
=3D 12. Para=20
BB e CC seria o<BR>mesmo, dando um total de 3*12 =3D 36 formas =
quando h=E1=20
apenas uma mat=E9ria<BR>que se repete no mesmo =
dia.<BR><BR>Assim, o total=20
seria 90 - (6+36) =3D 90 - 42 =3D 48 formas distintas =
de<BR>compor o=20
hor=E1rio<BR><BR>Thelio, voc=EA poderia passar a fonte do =
problema e=20
verificar se as<BR>respostas s=E3o essas mesmo?<BR><BR>On =
3/13/08, Thelio=20
Gama <<A onclick=3D"return =
top.js.OpenExtLink(window,event,this)"=20
href=3D"mailto:teliogama@xxxxxxxxx"=20
target=3D_blank>teliogama@xxxxxxxxx</A>> wrote:<BR>> =C9=20
pessoal...<BR>><BR>> Achei muito dif=EDcil esta quest=E3o. =
Agrade=E7o se=20
algu=E9m puder explic=E1-la.<BR>><BR>> =
Thelio<BR>><BR>> uma=20
turma tem aulas =E0s 2=AA, 4=AA e 6=AA feiras, de 8-9 horas e de =
11-12 horas.=20
As<BR>> mat=E9rias s=E3o portugues, matem=E1tica e ingles, =
cada uma com=20
duas aulas<BR>> semanais, em dias diferentes. De quantos =
modos pode=20
ser feito o hor=E1rio<BR>> dessa turma?<BR>> =
a)96 ; b)=20
144 ; c)192 ; d) =
6! ; e)=20
=
120<BR><BR><BR>--<BR>Henrique<BR><BR>=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
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=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D<BR>Instru=E7=F5es=20
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em<BR><A=20
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href=3D"http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html"=20
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=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
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=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D<BR></B=
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R></BLOCKQUOTE></BODY></HTML>
------=_NextPart_000_0008_01C88DB5.B07B5990--
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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