This thesis focuses on two classes of problems. First, we develop a new strategy to prove the strong maximum principle for equations governed by linear operators in non-divergence form. The analysis is carried out in a setting where the lower-order coefficients may be unbounded and the right-hand side of the equation is allowed to be nonhomogeneous under optimal assumptions. The second part of the thesis addresses qualitative properties of supersolutions to singular and degenerate operators. In this context, we recover both the strong maximum principle and the compact support principle under new optimal assumptions on the right-hand side. Moreover, we establish regularity estimates for semiconvex supersolutions corresponding to a given modulus of continuity.

In this thesis we study three problems in random graphs. We investigate the lower tail behaviour of the triangle count for moderate deviations, the connectivity threshold for random Friends and Strangers graphs, and the cop number of random hypergraphs.

In relation to the first problem, Neeman, Radin and Sadun discovered the rate associated with certain deviations in the number of triangles in random graphs. However, for a certain interval of deviations, in the lower tail, their bounds did not coincide. Answering a conjecture of theirs, we find the correct rate in this interval, up to a multiplicative constant.

For the second problem, we determine, up to a multiplicative constant, the threshold of connectivity of the Friends and Strangers graph $FS(G,H)$ with $G,H\sim G(n,p)$. Furthermore, our approach generalizes to the asymmetric case.

Finally, in the third, we study a problem of Cops and Robbers. The Conjecture of Meyniel, which asserts that $O(\sqrt{n})$ cops are sufficient for all connected graphs on $n$ vertices, is the central problem in this area of research. Pra\l at and Wormald showed that the conjecture is true ``typically" in the sense that it holds in graphs $G\sim G(n,p)$ with high probability. We prove a similar result in the context of random hypergraphs.

Estudamos fenômenos de rigidez para variedades de Finsler compactas em dois cenários. Primeiro, para variedades com curvatura de bandeira seccional, sem pontos conjugados e com fluxo geodésico transitivo, concluímos que a métrica deve ser Riemanniana. Usando argumentos semelhantes, obtivemos um resultado de rigidez para métricas fracamente Landsberg. Como aplicações do nosso teorema principal, estabelecemos uma versão analítica da conjectura de Hopf para
variedades de Finsler.
O segundo cenário diz respeito a variedades com curvatura S nula e sem pontos conjugados, onde provamos que a presença de alguma hiperbolicidade implica que a variedade deve ser Riemanniana.
Finalmente, estudamos as relações entre a curvatura geodésica de geodésicas magnéticas e a curvatura geodésica de horociclos para certas métricas Riemannianas em superfícies.

não divulgado

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Este trabalho tem como objetivo estudar a construção de esferas afins a partir da transformação de Tzitzeica, no contexto da geometria diferencial afim. O primeiro objetivo do trabalho é abordar os conceitos básicos da geometria diferencial afim como imersões afins, derivadas covariantes e estruturas de Blaschke e posteriormente a classificação de esferas afins com curvatura escalar constante. Além disso, investiga-se como a transformação de Tzitzeica pode ser utilizada para gerar novas soluções da equação de Tzitzeica e, consequentemente, novas esferas afins.