O uso em conjunto de modelagens matemáticas e computacionais tornaram-se essenciais para otimizar a exploração e o gerenciamento de reservatórios de petróleo e gás. Diferentes técnicas matemáticas têm sido exploradas no que tange o desenvolvimento de soluções analíticas em diferentes áreas, incluindo a simulação de reservatórios de petróleo, onde parâmetros físicos, como a permeabilidade, ainda são desconhecidos fazendo-se necessário analisar e extrair informações do reservatório através de testes. Uma abordagem clássica para resolver a equação da difusividade, que descreve o escoamento de fluidos em meios porosos, é o uso da função de pseudopressão. Essa técnica tem como principal objetivo linearizar parte da equação, contribuindo para o cálculo de sua solução. 

No entanto, sua aplicação exige métodos complementares para tratar as não-linearidades e obter soluções aproximadas com maior precisão.

Esta tese propõe duas soluções analíticas que utilizam a pseudopressão para abordar o escoamento monofásico de óleo em dois tipos de reservatório: homogêneo de multicamadas e heterogêneo de camada única formado por duas regiões homogêneas, ambos considerando a permeabilidade dependente da pressão e utilizando o problema de Green associado aliado ao método da perturbação e expansão assintótica. 

Os modelos propostos permitem uma análise de diferentes propriedades do reservatório e curvas de permeabilidade-pressão, possibilitando, assim, uma otimização mais eficaz e uma melhor compreensão do comportamento do fluxo em diferentes cenários.

A validação do modelo foi feita a partir da implementação do algoritmo das soluções propostas através da comparação direta com a resposta de um simulador de fluxo comercial baseado em diferenças finitas. 

Com a crescente demanda por técnicas mais robustas na indústria do petróleo, a adoção de métodos matemáticos mais avançados, como a abordagem proposta, torna-se essencial para melhorar a tomada de decisões e aumentar a eficiência dos processos de produção. 

Dessa forma, este trabalho contribui para o avanço das ferramentas analíticas utilizadas na modelagem e simulação de reservatórios de petróleo.

This work is concerned with the study of the regularity and the statistical properties of Lyapunov exponents of random locally constant linear cocycles. We investigate both the case when the support of the underlying measure consists of only invertible matrices, as well as the case when it also contains non-invertible matrices. It turns out that these two settings exhibit strikingly different behaviors.

In the invertible case we study the regularity of the Lyapunov exponent as a function of the underlying measure relative to two different topologies.

We establish its Hölder continuity in the generic setting with respect to the Wasserstein distance and its analyticity with respect to the total variation norm. 

In the non-invertible case, under appropriate assumptions, we obtain a characterization of uniform hyperbolicity via multi-cones and use it to establish a dichotomy between the analyticity and the discontinuity of the Lyapunov exponent. We also derive large deviations estimates and a central limit theorem for all of these models.

While there are many interesting remaining open problems, our results attempt to provide an almost complete picture in the context of two-dimensional random locally constant cocycles with finitely supported measures.

In this work, we investigate the arbitrary intersection of real Bruhatcells. Such objects have attracted interest from various authors, particularly due to their appearance in different contexts: such as in Kazhdan-Lusztig theory and in the study of locally convex curves. We study the homotopy type of the intersection of two real Bruhat cells.

This homotopy type is the same as that of an explicit submanifold of the group of real lower triangular matrices with diagonal entries equal to 1. For (n + 1) × (n + 1) matrices with n ≤ 4, these submanifolds are the disjoint union of contractible connected components. Our focus is on such intersections for 6×6 real matrices. For this, we study the connected components of Bruhat cells for permutations σ ∈ S6 with at most 12 inversions.

We make use of the structure of the dual CW complexes associated with these components. We show that for permutations with at most 12 inversions, with the exception of σ = [563412] , all connected components are contractible. Furthermore, for σ = [563412], we identify new non-contractible connected components with the homotopy type of the circle.

We are interested in the investigating of paths of conformal deformations of a metric defined in a compact surface, aiming the study of the connectedness of the set of metrics without conjugate points.

It is known that the set of Anosov metrics, in the topology $C^{2}$, is in the interior of the metrics without conjugate points. But it is not known if this set is connected or contractile. Hamilton showed, using the Ricci flow, that given any metric on a compact surface of genus greater than one, there exists a differentiable curve that starts at the metric and ends at a surface with negative curvature.

However, it is not known whether, when the initial metric has no conjugate points, this property is preserved along the curve.

Our study has two main objectives. The first is to present a family of compact surfaces of genus greater than one that, despite having a finite number of simply connected regions that admit positive curvature, do not present focal points, and whose metrics are Anosov.

The second goal is to demonstrate that this family contains a subfamily that can be continuously deformed into Anosov metrics without focal points until reaching a metric of negative curvature.

Esta dissertação insere-se no contexto da Modelagem Matemática, com ênfase em problemas relacionados à Engenharia de Reservatórios. Em particular, abordaremos ao longo do texto a aplicação de redes neurais para a predição de importantes dados de poços de petróleo, tais como pressão de fundo de poço, vazão de óleo e água, ao longo de períodos prolongados.

Para isso, utilizaremos o método conhecido como Embed to Control and Observe. Um dos principais tópicos discutidos será a sensibilidade dos hiperparâmetros das redes neurais, que são definidos durante o processo de treinamento. Em especial, investigaremos como a variação desses hiperparâmetros impacta na acurácia das predições.

Além disso, avaliaremos a acurácia dos resultados comparando-os com os resultados fornecidos pelo simulador comercial IMEX.

Outro ponto de destaque será a análise da viabilidade de aumentar a confiabilidade desses dados por meio da aplicação do estimador de James-Stein, já que este estimador domina o estimador de mínimos quadrados ordinários com relação ao critério de erro quadrático médio escalar.