Consideram-se problemas associados a equações diferenciais, sistemas completamente integráveis, teoria espectral e aspectos geométricos de funções não lineares. As relações entre os vários tópicos são uma característica da linha.

Área de atuação:

Projeto: Desigualdades funcionais afins e extensões funcionais na classe de funções Long-côncavas.
Descrição: Estudamos interações entre desigualdades do tipo Sobolev afins e desigualdades volumétricas na geometria convexa
Equipe: Carlos Hugo Jimenez Gomez

Projeto: Descrições estatísticas de longo tempo de sistemas de partículas em interação e flutuações em torno de seu limite termodinâmico.
Descrição: O projeto está focado em entender quantitativamente quando o limite do meio-campo funciona como um bom descritor do sistema, bem como as flutuações do sistema microscópico ao redor do limite do meio-campo. Como aplicação desta teoria, esperamos poder caracterizar de maneira quantitativa a convergência de alguns algoritmos no aprendizado de máquina.
Equipe: Matias Gonzalo Delgadino

Projeto: Geometria das funções Log-Concavas
Descrição: Estudamos propriedades geométricas das funções  log-côncava e as suas conexões com a geometria convexa. 
Equipe: Carlos Hugo Jimenez Gomez

Projeto: Geometria Global de Operadores não lineares diferenciais
Descrição: Consideram-se propriedades de operadores diferenciais e extensões usando técnicas de análise funcional, teoria de singularidades e topologia. Resultados teóricos dão origem a algoritmos numéricos.
Equipe: Nicolau Corção Saldanha e Carlos Tomei

Projeto: Propriedades das soluções das EDP’s Elípticas

Descrição:

1. EDP’s completamente não lineares advindas de controle estocástico e teoria de jogos. Teoria geral de operadores de Hamilton-Jacobi-Bellman e Isaac — princípios de comparação, existência de autovalores principais, condições ótimas para solubilidade do problema de Dirichlet, regularidade de Hölder, soluções fundamentais, singularidades isoladas. EDP’s completamente não lineares com crescimento polinomial na incógnita e seu gradiente. Métodos de soluções de viscosidade.
2. Métodos variacionais para EDP’s e sistemas de EDP’s da física. Existência de estados estacionários de equações de Schrödinger e de sistemas de equações de Schrödinger que modelam fenômenos em ótica não linear e física de baixas temperaturas.
3. Teoria geral de sistemas monótonos de EDP’s elípticas e parabólicas em forma não divergente. Princípios do máximo, desigualdades de Harnack, estimativas de Hölder, existência de soluções para o problema de Dirichlet vetorial.
4. Estimativas a priori e métodos de grau topológico para EDP’s e sistemas. Mudanças de escala ("blow-up") e teoremas de Liouville (não existência) para sistemas não lineares em domínios não limitados.
5. Simetria de soluções positivas de EDP’s e sistemas elípticos em domínios não limitados causada pela simetria do domínio. Simetria assintótica, monotonicidade de soluções em semi-espaços. Sistemas super-determinados e problemas de fronteira livre. Aplicações à eletrostática e à teoria de capilaridade.

Equipe: Boyan Slavchev Sirakov

Projeto: Regularidades em equações cinéticas
Descrição: Nós estudamos a propagação e/ou geração de regularidade de Lebesgue e Sobolev nos modelos cinéticos. O exemplo clássico para trabalhar é a equação de Boltzmann. O análise destes modelos é matematicamente difícil devido a natureza global e não-linear dos modelos.
Equipe: Ricardo José Alonso Plata

Projeto: Teoria de Regularidade para equações diferenciais parciais
Descrição: O projeto examina a intersecção entre a teoria de regularidade de equações diferenciais parciais e os problemas de fronteira livre.
Equipe: Edgard Almeida Pimentel

Projeto: Tópicos de análise e Matemática Aplicada 
Descrição: O projeto é um guarda-chuva englobando pesquisadores com quem tenho interesses comuns: Combinatória, com Nicolau Saldanha, Geometria de operadores diferenciais, também com Saldanha, Teoria espectral e sistemas integráveis (agora renomeado como Sistemas integráveis e álgebras de Lie), com Saldanha e David Martínez Torres, e Modelagem com redução de ordem em controle ótimo, com Alessandro Alla. Todos os participantes são do Departamento de Matemática da PUC-Rio.
Equipe: Nicolau Corção Saldanha, Carlos Tomei, Alessandro Alla e David Francisco Martinez Torres

Projeto: Tópicos de Análise não linear e teoria espectral
Descrição: Estudam-se propriedades espectrais de matrizes, com aplicações em análise numérica e sistemas integráveis. Em particular, consideram-se algoritmos para cálculo de autovalores, propriedades espectrais de classes de matrizes e parametrizações para essas classes, na linha de problemas inversos espectrais.
Equipe: Nicolau Corção Saldanha e Carlos Tomei

Projeto: Sistemas integráveis e álgebras de Lie
Descrição: Sistemas completamente integráveis são casos extremos de dinâmicas admitindo linearizações em variedades invariantes especiais. Por outro lado, outras famílias de campos permitem linearizações através de fatorações em grupos e álgebras de Lie associadas. Daí resultam propriedades  da dinâmica dos campos e propriedades topológicas das variedades invariantes (às vezes em forma de porismos, como em colaboração com P. Gibson (York. U., Canada).
Equipe: Nicolau Corção Saldanha, Carlos Tomei e David Francisco Martinez Torres

Projeto: Regularidade Geométrica para equações diferenciais parciais
Descrição: O projeto estuda a regularidade das soluções de equações elípticas de segunda ordem, incluindo operadores degenerados e problemas de transmissão no contexto de fronteiras livres.
Equipe: Edgard Almeida Pimentel e Boyan Slavchev Sirakov

Com o uso da computação em quase todos as disciplinas acadêmicas e industriais, emergem vários desafios matemáticos para representar, manipular e otimizar dados geométricos e multi-dimensionais no computador. Esses estudos requerem métodos de diversas áreas da matemática, desde topologia e geometria, passando por combinatória e análise funcional até álgebra e métodos numéricos.

Área de atuação:

Projeto: Controle Ótimo
Descrição: Programação dinâmica torna possível realizar controles de realimentação ótima para muitos problemas de controle ótimo não lineares. Entrentanto, a função a otimizar é calculada através da aproximação numérica da equação de Hamilton-Jacobi-Bellman, e em geral não é suave, exigindo grande alocação de memória. Procura-se um algoritmo eficiente para contornar o problema.
Equipe: Alessandro Alla

Projeto: Misturas Inelásticas
Descrição: Neste projeto, queremos estabelecer uma descrição mais completa das misturas inelásticas, estudando a teoria de Cauchy, as propriedades de regularidade, e o comportamento assintótico temporal de tais sistemas  Paralelamente ao estudo teórico, queremos criar um simulador Lattice Boltzmann para misturas inelásticas incluindo a interface gráfica.
Equipe: Ricardo José Alonso Plata e Sinésio Pesco

Projeto: Modelagem geométrica de corpos geológicos condicionados a dados de produção, geologia e geofísica
Descrição: O estudo geológico de uma região, a análise de testes de poços e do perfil de produção estão entre alguns dos diversos instrumentos envolvidos na avaliação de formações. Essas informações auxiliam na avaliação das propriedades de um reservatório como suas Dimensões, a composição dos fluidos, entre outras. O objetivo principal desse projeto é pesquisar e desenvolver novas ferramentas matemáticas e computacionais na área de avaliação de formações. Para isso, o projeto inicia com a modelagem geométrica de corpos geológicos aplicados à simulação booleana ou similares para geração de cenários tridimensionais de reservatórios condicionados à dados de produção dos poços.
Equipe: Sinésio Pesco, Matias Gonzalo Delgadino e Marcos Craizer.

Projeto:  Modelagem geométrica de corpos geológicos para simulação de reservatórios de petróleo
Descrição: A principal justificativa da modelagem geométrica de corpos geológicos gerados por simulação booleana está associada aos modelos de simulação de fluxo, que são influenciados por fatores deposicionais associados a geometria dos corpos. Na geração de corpos geológicos, duas frentes principais estão sendo pesquisadas atualmente neste projeto.
Equipe: Sinésio Pesco

Projeto: Modelagem matemática e computacional de problemas associados a teses de injetividade em poços verticais e horizontais considerando múltiplas camadas
Descrição: O teste de injetividade é uma ferramenta associada a avaliação de formação. O seu principal objetivo é o de auxiliar na investigação qualitativa e quantitativa da capacidade produtiva de um reservatório. Ele busca estimar parâmetros do reservatório como a pressão estática, permeabilidade, dano e skin, falhas, vazão, volume e geometria do reservatório, entre outros. O objetivo principal deste projeto é o estudo dos problemas relacionados a testes de injetividade que consideram a existência de fluxo de fluidos entre múltiplas camadas em poços verticais e também horizontais.
Equipe: Sinésio Pesco, Ricardo José Alonso Plata, Boyan Slavchev Sirakov e Alessandro Alla.

Projeto: Parametrização de superfícies triangulares
Descrição: Um dos principais problemas na parametrização de superfícies triangularizadas, orientadas e sem bordo é não ser possível definir uma parametrização em um único domínio planar. Ao se definir múltiplos domínios, devemos tratar das questões relativas a suavidade entre domínios.
O principal objetivo deste projeto é explorar estruturas de multi-triangulação e otimização hierárquica com aplicação em problemas de remalhamento semirregular de superfícies triangularizadas.
Equipe: Sinésio Pesco

Projeto: Redução de ordem de modelos
Descrição: Os modelos de ordem reduzida (ROMs) desempenham um papel crucial em aplicativos de computação científica em larga escala. A arquitetura dos ROMs é explorada em sistemas físicos e de engenharia baseados em simulação de grande dimensão. Sua estrutura algorítmica busca subespaços de baixa dimensão, tipicamente calculados com a SVD (decomposição de valores singulares), onde a dinâmica de modelos se projeta usando um método de Galerkin. Assim, em vez de resolver um sistema de equações diferenciais de alta dimensão, considera-se um modelo de baixo posto construído de uma maneira baseada em princípios tradicionais.
Equipe: Alessandro Alla

Projeto: Sistemas colaborativos de recomendação para artigos científicos
Descrição: Neste projeto exploramos a questão da revisão da literatura científica.
A busca por artigos científicos de uma certa área, em geral, ocorre por data de publicação de forma a conhecer a evolução do estado da arte.
Um dos objetivos deste trabalho é tratar do problema de localizar e visualizar os artigos mais relevantes que refletem a evolução dos diferentes ramos de estudo.
Buscamos uma metodologia baseada na visualização de uma árvore de artigos de forma a identificar as citações mais relevantes em uma linha de pesquisa.
Equipe: Sinésio Pesco

Projeto: Traços das isogenias dos grupos de dimensão um
Descrição: Estudamos invariantes das imagens dos polígonos regulares com respeito das transformações afins, e, mais geralmente, traços das N-isogenias entre as curvas de gênero um (curvas elípticas) e classes das funções conservadoras - funções de traço constante que podem ser expressadas em invariantes básicas da geometria euclideana. Produzimos os vídeos.
Equipe: Sergey Galkin

Estudam-se estruturas discretas, com ênfase em teorias de recobrimento por dímeros.

Área de atuação:

Projeto: Combinatória de Dominós
Descrição: Estudamos coberturas de dominós em dimensões 2 e maior.
Os resultados mais recentes são sobre dimensão 3 e maior.
Equipe: Carlos Tomei e Nicolau Corção Saldanha.

Projeto: Lógica e combinatória
Descrição: Certos resultados de combinatória podem ser enunciados finistiticamente (isto é, em aritmética de Peano) mas só podem ser demonstrados usando conjuntos infinitos.
Equipe: Nicolau Corção Saldanha  

Projeto: Processos aleatórios de grafos e suas aplicações em combinatória
Descrição: O objetivo do projeto é analisar processos aleatórios de grafos usando o método de equações diferenciais para obter resultados determinísticos em Combinatória.  Em particular, podemos usar esses métodos para obter novas cotas inferiores para números de Ramsey.
Equipe: Simon Richard Griffiths

Estudam-se variedades dotadas de várias estruturas, por exemplo, métrica riemanniana ou folheações, hipersuperfícies mínimas ou com curvatura média constante, folhas compactas e curvatura das folhas. Utilizam-se métodos geométricos analíticos e topológicos.

Área de atuação:

Projeto: Condições de tipo compacto em geometria de Poisson
Descrição: Descrevemos uma classe de variedades de Poisson que generalizam grupos compactos de Lie, folheações compactas e variedades simpléticas. As ferramentas variam da teoria da singularidade a estruturas afins integrais.
Equipe: David Francisco Martinez Torres

Projeto: Folheações cujas folhas têm geometrias de Thurston
Descrição: Thurston definiu o conceito de 'geometria modelo´ em variedades de dimensão e 3 e mostrou que existem exatamente oito. Estudam-se folheações de variedades de dimensão 4 tais que todas as folhas tem uma geometria modelo.
Equipe: Paul Alexander Schwetzer

Projeto: Geometria afim de superfícies e teoria de singularidades
Descrição: Neste projeto estudamos Geometria Afim de superfícies suaves e discretas sob o ponto de vista da Teoria de Singularidades. Consideramos pontos especiais de uma superfície tais como pontos umbílicos e quadráticos. Também consideramos classes especias de superfícies tais como esferas afins impróprias.
Equipe: Marcos Craizer

Projeto: Geometria de curvas e superfícies e teoria de singularidades
Descrição: Neste projeto estudamos geometria de curvas e superfícies sob o ponto de vista da teoria de singularidades. Mais precisamente consideramos geometrias afim e projetiva de curvas e superfícies, pontos quadráticos e umbílicos afins e geometria de espaços normados.
Equipe: Marcos Craizer  e Sinésio Pesco

Projeto: Geometria de curvas e polígonos no plano e no espaço.
Descrição: Neste projeto estudamos curvas e polígonos no plano, no espaço e na esfera. Discutimos singularidades das curvas, fecho convexo e desigualdades isoperimétricas.  Também consideramos curvas de Legendre e planos normados.
Equipe: Marcos Craizer  e Sinésio Pesco

Projeto: Geometria diferencial e grupos de Lie
Descrição: Estudamos Geometria Diferencial ligada aos Grupos de Lie, com ênfase no estudo das órbitas da ação coadjunta. Do ponto de vista geometrico, estamos interessados na geometría simplética global das órbitas coadjuntas não compactas. Do ponto de vista topológico, estudamos a homotopia do grupo de difeomorfismos das órbitas coadjuntas compactas.
Equipe: David Francisco Martinez Torres

Projeto: Subvariedades e submersões na geometria de Poisson
Descrição: Estudamos as seguintes questões duais: Primeiro, como as estruturas de Poisson podem ser induzidas em subvariedades e quais características refletem na estrutura induzida. Em segundo lugar, como uma submersão de Poisson relaciona características do espaço total e da base. As técnicas vêm da geometria de Dirac. Esperamos aplicações para ações de grupos Poisson-Lie.
Equipe: David Francisco Martinez Torres

Projeto: Superfícies mínimas e suas ramificações
Descrição: Estudamos a geometria das superfícies mínimas dos espaços homogêneos tridimensionais, notadamente, dos espaços H^2 x R (onde H^2 é o plano hiperbólico) e o espaço de Heisenberg. Também estudamos os seguintes fenômenos: o princípio do máximo, as estimativas a priori, os problemas de Dirichlet, a unicidade, a estabilidade, o mergulho e a curvatura total finita ou infinita. Contemplamos EDP´s elípticas não lineares: da equação mínima e da curvatura média e outras EDP´s elípticas não lineares similares provenientes da geometria.
Equipe: Boyan Slavchev Sirakov

A teoria dos Processos Estocásticos estuda a evolução, temporal ou espacial, de sistemas com comportamento aleatório. Suas técnicas permitem extrair o comportamento coletivo de sistemas constituídos de um grande número de componentes.

Área de atuação:

Projeto: Processos competitivos de urnas
Descrição: Estudamos o comportamento de processos competitivos de urnas em grafos finitos e infinitos.
Equipe: Simon Richard Griffiths

Projeto: Análise não assintótico de matrizes aleatórias sem independência.
Descrição: Estudamos propriedades de matrizes aleatórias que seguem uma distribuição log-concava sem independência nas entradas, colunas ou linhas. 
Equipe: Carlos Hugo Jimenez Gomez

Projeto: Probabilidades de desvios em grafos aleatórios e conjuntos aleatórios
Descrição: Investigamos a probabilidade de desvios moderados em vários contextos, incluindo: subgrafos de grafos aleatórios e progressões aritméticas e outras estruturas em conjuntos aleatórios nos inteiros.
Equipe: Simon Richard Griffiths

Esta linha estuda o comportamento assintótico das órbitas de endomorfismos, difeomorfismos e fluxos, com ênfase nas propriedades intrínsecas. Estamos interessados em problemas de estabilidade e nas formas em que esta característica desaparece.

Área de atuação:

Projeto: Dinâmica conservativa em variedades, geometria e topologia
Descrição: O objetivo geral do projeto é o estudo da dinâmica conservativa em variedades diferenciáveis: sistemas Hamiltonianos, Lagrangeanos, geodésicos, magnéticos, provenientes da mecânica clássica. Abordamos os problemas da dinâmica de tais sistemas desde vários pontos de vista: dinâmica não uniformemente hiperbólica, geometria e topologia (diferencial e simplética), teoria ergódica, cálculo das variações, teoria de controle geométrico, formalismo termodinâmico, entre outros. O projeto abrange um espectro amplo de problemas importantes na área que são objeto de intensa pesquisa nos principais centros de matemática no mundo. Conta com a colaboração de diversos pesquisadores no pais e no exterior como os professores Gérard Besson da Universidade de Grenoble, Ludovic Rifford da Universidade de Nice, e Patrick Foulon da Universidade de Aix Marseille.
Equipe: Rafael Oswaldo Ruggiero Rodriguez

Projeto: Expoentes de Lyapunov de cociclos lineares
Descrição: O projeto trata de propriedades de regularidade e simplicidade dos expoentes de Lyapunov de cociclos lineares sobre vários tipos de sistemas dinâmicos.
Equipe: Silvius Klein

Projeto:  Aspectos ergódicos de sistemas não-uniformemente hiperbólico
Descrição: O objetivo deste projeto é determinar relações entre propriedades ergódicas e aquelas ligadas à hiperbolicidade.
Equipe: Lorenzo Justiniano Diaz Casado.

Projeto: Bifurcações e ciclos
Descrição: Estudo das dinâmicas associadas ao desdobramento de ciclos (tangências homoclinicas, ciclos sela-nó, ciclos heterodimensional).
Equipe: Lorenzo Justiniano Diaz Casado e Silvius Klein

Projeto: Transitividade robusta e hiperbolicidade fraca
Descrição: Relação entre transitividade e formas fracas de hiperbolicidade.
Equipe: Lorenzo Justiniano Diaz Casado.

Nesta linha estudamos problemas de caráter topológico em teoria de folheações, ações de grupos, e geometria.

Área de atuação:

Projeto: Conjuntos Algébricos Invariantes de Folheações
Descrição: Estudam-se campos vetoriais (com coeficientes em um fibrado em retas) sobre espaços projetivos e cotas para o grau de hipersuperfícies que definem curvas invariantes por tais campos, como também de hipersuperfícies invariantes por campos de Pfaff (sobre espaços projetivos).
Equipe: Paul Alexander Schwetzer

Projeto: Enlaçamento assintótico de ações de RK
Descrição: Estudamos invariantes de enlaçamento assintótico de R^k e R^s que preservam o volume numa variedade de dimensão k+s+1, ou de uma ação com uma folheação generalizando trabalho de V. Arnold e Khesin.
Equipe: Paul Alexander Schwetzer

Projeto: Espaços de Curvas
Descrição: Este projeto começou com o estudo do espaço das curvas localmente convexas em S^2.
Depois disso foram estudados vários outros espaços de curvas, definidos por outras condições, em outras superfícies ou em esferas de dimensão maior. Vários tópicos de álgebra revelaram-se relevantes para esses problemas.
Equipe: Nicolau Corção Saldanha

Projeto: Espaços de Módulos
Descrição: Estudamos aspectos geométricos, topológicos e aritméticos dos espaços de módulos dos feixes e fibrados (estáveis, parabólicos, Higgs) sobre as superfícies de Riemann, e varias relações entre estes espaços (correspondência geométrica de Langlands, simetria de espelho, teoria de Hodge não abeliana, teorias topológicas quânticas de campo).
Equipe: Sergey Galkin

Projeto: Estabilidade de ações compactas
Descrição: Uma ação compacta é uma ação localmente livre cujas órbitas são todas compactas. Estudamos sob que condições podemos garantir que perturbações de uma ação compacta ainda são compactas.
Equipe: Nicolau Corção Saldanha