Consideram-se problemas associados a equações diferenciais, sistemas completamente integráveis, teoria espectral e aspectos geométricos de funções não lineares. As relações entre os vários tópicos são uma característica da linha.
Área de atuação:
Projeto: Desigualdades funcionais afins e extensões funcionais na classe de funções Long-côncavas.
Descrição: Estudamos interações entre desigualdades do tipo Sobolev afins e desigualdades volumétricas na geometria convexa
Equipe: Carlos Hugo Jimenez Gomez
Projeto: Descrições estatísticas de longo tempo de sistemas de partículas em interação e flutuações em torno de seu limite termodinâmico.
Descrição: O projeto está focado em entender quantitativamente quando o limite do meio-campo funciona como um bom descritor do sistema, bem como as flutuações do sistema microscópico ao redor do limite do meio-campo. Como aplicação desta teoria, esperamos poder caracterizar de maneira quantitativa a convergência de alguns algoritmos no aprendizado de máquina.
Equipe: Matias Gonzalo Delgadino
Projeto: Geometria das funções Log-Concavas
Descrição: Estudamos propriedades geométricas das funções log-côncava e as suas conexões com a geometria convexa.
Equipe: Carlos Hugo Jimenez Gomez
Projeto: Geometria Global de Operadores não lineares diferenciais
Descrição: Consideram-se propriedades de operadores diferenciais e extensões usando técnicas de análise funcional, teoria de singularidades e topologia. Resultados teóricos dão origem a algoritmos numéricos.
Equipe: Nicolau Corção Saldanha e Carlos Tomei
Projeto: Propriedades das soluções das EDP’s Elípticas
Descrição:
1. EDP’s completamente não lineares advindas de controle estocástico e teoria de jogos. Teoria geral de operadores de Hamilton-Jacobi-Bellman e Isaac — princípios de comparação, existência de autovalores principais, condições ótimas para solubilidade do problema de Dirichlet, regularidade de Hölder, soluções fundamentais, singularidades isoladas. EDP’s completamente não lineares com crescimento polinomial na incógnita e seu gradiente. Métodos de soluções de viscosidade.
2. Métodos variacionais para EDP’s e sistemas de EDP’s da física. Existência de estados estacionários de equações de Schrödinger e de sistemas de equações de Schrödinger que modelam fenômenos em ótica não linear e física de baixas temperaturas.
3. Teoria geral de sistemas monótonos de EDP’s elípticas e parabólicas em forma não divergente. Princípios do máximo, desigualdades de Harnack, estimativas de Hölder, existência de soluções para o problema de Dirichlet vetorial.
4. Estimativas a priori e métodos de grau topológico para EDP’s e sistemas. Mudanças de escala ("blow-up") e teoremas de Liouville (não existência) para sistemas não lineares em domínios não limitados.
5. Simetria de soluções positivas de EDP’s e sistemas elípticos em domínios não limitados causada pela simetria do domínio. Simetria assintótica, monotonicidade de soluções em semi-espaços. Sistemas super-determinados e problemas de fronteira livre. Aplicações à eletrostática e à teoria de capilaridade.
Equipe: Boyan Slavchev Sirakov
Projeto: Regularidades em equações cinéticas
Descrição: Nós estudamos a propagação e/ou geração de regularidade de Lebesgue e Sobolev nos modelos cinéticos. O exemplo clássico para trabalhar é a equação de Boltzmann. O análise destes modelos é matematicamente difícil devido a natureza global e não-linear dos modelos.
Equipe: Ricardo José Alonso Plata
Projeto: Teoria de Regularidade para equações diferenciais parciais
Descrição: O projeto examina a intersecção entre a teoria de regularidade de equações diferenciais parciais e os problemas de fronteira livre.
Equipe: Edgard Almeida Pimentel
Projeto: Tópicos de análise e Matemática Aplicada
Descrição: O projeto é um guarda-chuva englobando pesquisadores com quem tenho interesses comuns: Combinatória, com Nicolau Saldanha, Geometria de operadores diferenciais, também com Saldanha, Teoria espectral e sistemas integráveis (agora renomeado como Sistemas integráveis e álgebras de Lie), com Saldanha e David Martínez Torres, e Modelagem com redução de ordem em controle ótimo, com Alessandro Alla. Todos os participantes são do Departamento de Matemática da PUC-Rio.
Equipe: Nicolau Corção Saldanha, Carlos Tomei, Alessandro Alla e David Francisco Martinez Torres
Projeto: Tópicos de Análise não linear e teoria espectral
Descrição: Estudam-se propriedades espectrais de matrizes, com aplicações em análise numérica e sistemas integráveis. Em particular, consideram-se algoritmos para cálculo de autovalores, propriedades espectrais de classes de matrizes e parametrizações para essas classes, na linha de problemas inversos espectrais.
Equipe: Nicolau Corção Saldanha e Carlos Tomei
Projeto: Sistemas integráveis e álgebras de Lie
Descrição: Sistemas completamente integráveis são casos extremos de dinâmicas admitindo linearizações em variedades invariantes especiais. Por outro lado, outras famílias de campos permitem linearizações através de fatorações em grupos e álgebras de Lie associadas. Daí resultam propriedades da dinâmica dos campos e propriedades topológicas das variedades invariantes (às vezes em forma de porismos, como em colaboração com P. Gibson (York. U., Canada).
Equipe: Nicolau Corção Saldanha, Carlos Tomei e David Francisco Martinez Torres
Projeto: Regularidade Geométrica para equações diferenciais parciais
Descrição: O projeto estuda a regularidade das soluções de equações elípticas de segunda ordem, incluindo operadores degenerados e problemas de transmissão no contexto de fronteiras livres.
Equipe: Edgard Almeida Pimentel e Boyan Slavchev Sirakov