Nilson C. Bernardes Jr. (UFRJ)

Hiperbolicidade, estabilidade estrutural e a propriedade de sombreamento são conceitos fundamentais na teoria qualitativa de sistemas dinâmicos e equações diferenciais, com muitas aplicações em Matemática, Física e outros ramos da Ciência.

Nos últimos anos, alguns fatos interessantes foram estabelecidos no contexto da dinâmica linear, incluindo a solução de um problema em aberto de longa data. Abaixo listamos alguns desses fatos:

A existência de operadores que têm a propriedade de sombreamento, mas não são hiperbólicos.

A existência de operadores estruturalmente estáveis que não são hiperbólicos.

A igualdade “hiperbolicidade = expansividade + sombreamento” para operadores em espaços de Banach.

Uma caracterização da propriedade de sombreamento para operadores de deslocamento com pesos em espaços de Banach clássicos de sequências.

O surgimento do conceito de hiperbolicidade generalizada.

A estabilidade estrutural de todo operador hiperbólico generalizado.

O teorema de Grobman-Hartman generalizado.

A equivalência entre sombreamento e sombreamento finito para operadores em espaços de Banach.

Em nossa palestra, apresentaremos uma visão geral sobre este assunto. Relembraremos os conceitos relevantes, enunciaremos os resultados principais, apresentaremos algumas demonstrações e contraexemplos, e mencionaremos alguns problemas básicos que permanecem em aberto.

Nossa exposição será baseada em alguns artigos recentes do palestrante com vários colaboradores, a saber, Patrícia R. Cirilo, Udayan B. Darji, Ali Messaoudi, Alfredo Peris e Enrique R. Pujals.