Dissertação de Mestrado Academico - Adriano Gouveia Gonçalves

Título: Formas quadráticas e o Teorema de Hasse-Minkowski sobre os números racionais

Resumo:

Este trabalho apresenta uma introdução ao Teorema de Hasse-Minkowski sobre os números racionais, a partir do estudo de formas quadráticas e de seus comportamentos nos completamentos de $\mathbb{Q}$. O objetivo central é demonstrar que uma forma quadrática com coeficientes racionais representa zero não trivialmente sobre $\mathbb{Q}$ se, e somente se, representa zero não trivialmente sobre $\mathbb{R}$ e sobre $\mathbb{Q}_p$, para todo número primo $p$.

Para isso, desenvolvemos inicialmente os resultados preliminares necessários sobre congruências, números $p$-ádicos, o Lema de Hensel e aproximação fraca. Em seguida, estudamos formas quadráticas sobre corpos de característica diferente de 2, incluindo equivalência, diagonalização, representação de elementos, isotropia e anisotropia.

Também introduzimos o símbolo de Hilbert e suas propriedades locais, destacando sua interpretação em termos de normas e sua relação com a fórmula do produto. A demonstração do Teorema de Hasse-Minkowski é então organizada de acordo com o número de variáveis.

Os casos de duas, três e quatro variáveis são tratados separadamente, utilizando invariantes e ferramentas como o determinante, o símbolo de Hilbert e argumentos de prescrição global. Por fim, o caso de cinco ou mais variáveis é reduzido aos anteriores por meio de aproximação fraca e indução.

Dessa forma, a dissertação busca apresentar uma prova detalhada e acessível do princípio local-global para formas quadráticas sobre os números racionais.

Orientador: Nicolau Corcao Saldanha - PUC-Rio

Banca examinadora:
Luciane Quoos Conte - UFRJ
Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira - IMPA
Nivaldo Nunes de Medeiros Júnior - UFF
Fabio Enrique Brochero Martinez - UFMG