Dinâmicas minimais em conjuntos de Cantor e diagramas de Bratteli

Um diagrama de Bratteli $\mathfrak{B}$ é um objeto combinatório representado por um grafo dividido em infinitos níveis, cada um com número finito de vértices e de arestas entre vértices de níveis consecutivos. Além disso, todo vértice possui ligação com vértices dos níveis precedente e sucessor.

Estudamos, do ponto de vista topológico, o espaço dos caminhos infinitos formados pelas arestas de um diagrama de Bratteli, denotado por $X_{\mathfrak{B}}$. Estabelecemos uma relação de equivalência neste espaço, denominada relação AF. Quando é possível definir uma ordem parcial em $X_{\mathfrak{B}}$ o diagrama de Bratteli é dito ordenado; neste caso, definimos um homeomorfismo em $X_{\mathfrak{B}}$ denominado de função de Bratteli-Vershik. Associada a esta função estabelecemos uma relação de equivalência orbital. Consideramos sistemas dinâmicos minimais definidos em conjuntos de Cantor e associamos a estas dinâmicas diagramas de Bratteli ordenados.

Uma relação de equivalência é dita "étale" quando admite uma topologia gerada por uma ação local. Dois exemplos são a relação de equivalência AF e a relação orbital. Dada uma relação de equivalência "étale" $R$ em um espaço $X$, definimos um invariante algébrico $D(X,R)$. Construímos o grupo de dimensão de um diagrama de Bratteli. Provamos, então, que dado um diagrama de Bratteli $\mathfrak{B}$, seu grupo de dimensão é isomorfo a $D(X_{\mathfrak{B}},R_{\mathfrak{B}})$, onde $R_\mathfrak{B}$ é relação AF de $\mathfrak{B}$. Finalmente, estudamos sob quais condições um grupo abeliano ordenado é o grupo de dimensão de um diagrama de Bratteli.

Esta dissertação é baseada no livro de Ian F. Putnam "Cantor minimal systems", publicado em University Lecture Series, 70. American Mathematical Society, Providence, RI, 2018.