Trabalho na interface da geometria aritmética e da teoria analítica de formas automórficas. Por um lado meu trabalho liga com as conjecturas principais de Iwasawa para curvas elípticas modulares em extensões diedras de campos CM, motivadas por uma nova estratégia que propus em "Some remarks on the two-variable main conjectures of Iwasawa theory for elliptic curves without complex multiplication" para abordar as conjecturas principais de dual variáveis para curvas elípticas usando mudança de base cíclica (cyclic basechange).

Espera-se que o progresso nesse problema em aberto revele percepções sobre os casos restantes da conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer. Aqui publiquei vários teoremas generalizando a construção necessária de funções L p-ádicas e sistemas de Euler para corpos totalmente reais para alcançar parte dessa motivação — entre eles o artigos "On the dihedral main conjecture of Iwasawa theory for Hilbert modular eigenforms" e "On the dihedral Euler characteristics of Selmer groups of abelian varieties".

Esse programa leve à apresentação uma teoria de representação pura das funções L p-ádicas construídas por meio de apresentações integrais de períodos tóricos por meio de teoremas de Waldspurger e outros em meu artigo ""p-adic interpolation of automorphic periods for GL(2)", que, após avanços recentes na conjectura de Ichino-Ikeda Gan-Gross-Prasad, trabalhei na generalização para grupos unitários do maior grau. Um requisito oculto importante para esse programa é conhecer a não-trivialidade das funções L p-ádicas. Isso se traduz em um rico conjunto de problemas sobre os momentos das funções-L em grupos do maior grau.

Mais uma vez motivado pelas conjecturas principais (de Iwasawa) de duas variáveis, trabalhei em um projeto de longo prazo para derivar estimativas de não-vencedoras para famílias de valores centrais das funções L de Rankin-Selberg (grau quarto) em meus tres artigos "Rankin-Selberg L-functions in cyclotomic towers, I, II, and III". Isso me levou a considerar outros problemas relacionados com momentos das funções-L de GL(n)-automórficas, como melhorias nos limites de Luo-Rudnick-Sarnak em direção à conjectura de Ramanujan-Petersson para formas GL(n)-automórficas. Aqui, em um trabalho preliminar, considero médias sobre caracteres primitivas de Dirichlet de módulo de primeira potência em "Dirichlet twists of GL(n)-automorphic L-functions and hyper-Kloosterman Dirichlet series" e deverei fórmulas especiais de soma de Voronoi que proponha desenvolver para estudar séries de Poincaré e Eisenstein em GL(n).

Também reformulei questões em aberto sobre os momentos de funções L de classificação do maior grau em termos de certas formas L^2-automórficas em GL(2), que podem ser vistos como trampolim para o progresso de vários problemas importantes em aberto. Por fim, escrevi um novo trabalho sobre apresentações integrais para valores de derivadas centrais de funções-L de curvas elípticas sobre corpos quadráticos reais à la Gross-Zagier, e estou animada para prosseguir com novos trabalhos nessa direção.

Publicações selecionadas:

*J. Van Order, Dirichlet twists of GL(n)-automorphic L-functions and hyper-Kloosterman Dirichlet
series, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 30 no. 3 (2021), 633-703.

*J. Van Order, p-adic interpolation of automorphic periods for GL(2), Doc. Math. 22 (2017),
1467-1499.

*J. Van Order, On the dihedral Euler characteristics of Selmer groups of abelian varieties, in
"Arithmetic and Geometry", eds. L. Dieulefait et al., London Math Soc. Lecture Notes 420, Cambridge
University Press (2015).

*J. Van Order, Some remarks on the two-variable main conjecture of Iwasawa theory for elliptic
curves without complex multiplication, J. Algebra 350, (2012), 273 - 299.

*J. Van Order, On the dihedral main conjectures of Iwasawa theory for Hilbert modular eigenforms,
Canad. J. Math. 65 no. 2 (2013), 403-466.