Sou professor adjunto do Departamento de Matemática da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio). Concluí meu doutorado em 2005, na Universidade da Califórnia, Los Angeles (UCLA), onde fazia parte do grupo de Análise Matemática. Minha tese foi sobre teoria espectral para operadores discretos e quase periódicos de Schrödinger, um tópico de física matemática que utiliza fortemente ferramentas de análise de Fourier e que tem conexões importantes com sistemas dinâmicos. Ocupei vários cargos de pós-doutorado, dos quais um, na Universidade de Lisboa, contribuiu para a minha convergência para sistemas dinâmicos. A linha principal da minha pesquisa atual concerne no estudo de expoentes de Lyapunov de cociclos lineares e em propriedades espectrais de operadores de Schrödinger e Jacobi.
A linha principal da minha pesquisa concerne no estudo de expoentes de Lyapunov de cociclos lineares. Um cociclo linear é uma aplicação do tipo produto-torcido agindo num fibrado vetorial, que preserva a estrutura de fibrado linear e induz uma medida que preserva o sistema dinâmico da base. Expoentes de Lyapunov quantificam o crescimento exponencial médio de iterados do cociclo ao longo de subespaços invariantes pelas fibras, que são chamados subespaços de Oseledets.
Uma classe importante de exemplos de cociclos lineares é dada por cociclos associados a operadores ergódicos de Schrödinger discretos e unidimensionais. Tal operador é a versão discretizada de um Hamiltoniano quântico. Seu potencial é dado por uma série temporal, isto é, o potencial é obtido avaliando um observável ao longo da órbita de uma transformação ergódica.
Os iterados de um cociclo linear podem ser pensados como um processo estocástico multiplicativo (não comutativo). Um importante e difícil problema é entender as propriedades estatísticas de tais processos, sob hipóteses apropriadas. Isto por sua vez tem consequências no comportamento dos expoentes de Lyapunov (por exemplo, este fato poderia ser usado para estabelecer propriedades tais como positividade e continuidade) e, no caso de cociclos de Schrödinger, nas propriedades espectrais do operador discreto de Schrödinger correspondente.
Minha pesquisa (em colaboração com Pedro Duarte) concerne na construção de uma teoria geral que unifique as conexões entre os tópicos acima mencionados.
Publicações selecionadas:
- P. Duarte, S. Klein, Large deviations for products of random two dimensional matrices, Commun. Math. Phys. (CMP), 2019
- P. Duarte, S. Klein, Continuity, positivity and simplicity of the Lyapunov exponents for quasi-periodic cocycles, Journal of the European Mathematical Society (JEMS), 2019
- P. Duarte, S. Klein, Lyapunov Exponents of Linear Cocycles: Continuity via Large Deviations, livro de pesquisa, Atlantis Series in Dynamical Systems Vol 3 (2016)