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Ciclo Básico

Obs: A partir do período 2009.1 as disciplinas abaixo foram substituidas por disciplinas com novas siglas e/ou títulos. Todas as novas disciplinas são equivalentes às suas versões antigas para efeitos de pré-requisitos, Ciclo Básico, Domínios Adicionais, e os diversos Bacharelados:
1. "MAT1005 - Introdução ao Cálculo" por "MAT1157 - Cálculo a uma Variável A"
2. "MAT1004 - Cálculo de uma Variável A" por "MAT1158 - Cálculo a uma Variável B"
3. "MAT1152 - Cálculo Diferencial de Várias Variáveis" por "MAT1162 - Cálculo a Várias Variáveis I"
4. "MAT1172 - Cálculo Diferencial de Várias Variáveis Especial" por "MAT1182 - Cálculo a Várias Variáveis I Especial"
5. "MAT1153 - Cálculo Integral de Várias Variáveis" por "MAT1163 - Cálculo a Várias Variáveis II"
6. "MAT1163 - Cálculo Integral de Várias Variáveis Especial" por "MAT1183 - Cálculo a Várias Variáveis II Especial"


MAT1157 - CÁLCULO A UMA VARIÁVEL A

Ementa:
Números, construção de seqüências de aproximações de números reais. Resolução de equações e desigualdades. Equações, funções, gráficos, raízes e zeros. Equação da reta, circunferência, parábola e hipérbole eqüilátera. Funções afins, quadráticas, raiz quadrada, polinomiais. Derivadas de funções polinomiais. Funções trigonomé-tricas e suas derivadas. Operações com funções, regras de derivação incluindo regra da cadeia. Funções racionais. Aplicações: construção de gráficos de funções, pro-blemas de otimização e de taxas relacionadas, cálculo de zeros de funções por iteração e por Newton, aproximações de funções por funções polinomiais.
Bibliografia:
1) J. Stewart, "Cálculo, volume 1", Editora Thomson, 2010.
Pré-requisitos:
Nenhum

MAT1158 - CÁLCULO A UMA VARIÁVEL B
Ementa: Revisão: continuidade e propriedades algébricas das funções elementares xn, xp/q, ax e logax. Diferenciabilidade. O método de Newton. Máximos e mínimos locais, derivadas de ordem superior, pontos de inflexão. Regra de L'Hôpital. As funções trigonométricas, suas inversas e derivadas. Otimização. A integral definida. Teorema Fundamental do Cálculo, primitivas. Integração numérica. Técnicas de integração: integração por partes e substituição. Algumas aplicações de integrais. O curso utiliza laboratórios de computação para fixar os conceitos apresentados em sala de aula.
Bibliografia:
1) Malta, I., Lopes, H., e Pesco, S., "Cálculo a uma Variável. vol. 2", Editora PUC-Rio, 2002.
2) Edwards, C.H. e Penney, D. E., "Cálculo com Geometria Analítica", Prentice-Hall do Brasil, 1997.
Pré-requisitos:
MAT1005

MAT1161 - CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL

Ementa:
Elementos de linguagem e lógica matemática. Números reais, representação decimal, aproximação e erro. Seqüências numéricas. Funções e gráficos. Continuidade. O método da bisseção. Limites de funções, limites assintóticos. As funções elementares xn, xp/q, ax e logax e seus gráficos. Diferenciabilidade. O método de Newton. Máximos e mínimos locais, derivadas de ordem superior, pontos de inflexão. Regra de L’Hôpital. As funções trigonométricas, suas inversas e derivadas. Otimização. A integral definida. Teorema Fundamental do Cálculo, primitivas. Integração numérica. Técnicas de integração: integração por partes e substituição. Algumas aplicações de integrais.
Bibliografia:
1) Malta, I., Lopes, H., e Pesco, S., "Cálculo a uma Variável. vols. 1 e 2", Editora PUC-Rio, 2002.
2) Edwards, C.H. e Penney, D. E., "Cálculo com Geometria Analítica", Prentice-Hall do Brasil, 1997.
Pré-requisitos:
Nenhum

MAT1181 - CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL ESPECIAL
Ementa: Elementos de linguagem e lógica matemática. Números reais, representação decimal, aproximação e erro. Seqüências numéricas. Funções e gráficos. Continuidade. O método da bisseção. Limites de funções, limites assintóticos. As funções elementares xn, xp/q, ax e logax e seus gráficos. Diferenciabilidade. O método de Newton. Máximos e mínimos locais, derivadas de ordem superior, pontos de inflexão. Regra de L’Hôpital. As funções trigonométricas, suas inversas e derivadas. Otimização. A integral definida. Teorema Fundamental do Cálculo, primitivas. Integração numérica. Técnicas de integração: integração por partes e substituição. Algumas aplicações de integrais. Tópicos adicionais a critério do professor.
Bibliografia:
1) Malta, I., Lopes, H., e Pesco, S., "Cálculo a uma Variável. vols. 1 e 2", Editora PUC-Rio, 2002.
2) Edwards, C.H. e Penney, D. E., "Cálculo com Geometria Analítica", Prentice-Hall do Brasil, 1997.
Pré-requisitos:
Nenhum

MAT1162 - CÁLCULO  A VÁRIAS VÁRIAVEIS I
Ementa:
Funções de 2 e 3 variáveis: gráfico, domínio, imagem; continuidade e diferenciabilidade de funções de 2 e 3 variáveis; derivadas parciais e gradiente; espaços tangentes a gráficos e aproximação linear; classificação local de pontos críticos via Hessiana; compacidade e teorema de Weierstrass; multiplicadores de Lagrange; integrais duplas em coordenadas cartesianas e polares; integrais triplas em coordenadas cartesianas, cilíndricas, e esféricas.
Bibliografia:
1) Bortolossi, H.J., "Cálculo Diferencial a Várias Variáveis. Uma Introdução à Teoria de Otimização", Editora PUC-Rio, 2002.
2) Craizer, M. e Tavares, G., "Cálculo Integral a Várias Variáveis", Editora PUC-Rio, 2002.
3) Simmons, G. F., "Cálculo com Geometria Analítica. vol. 2", MacGraw-Hill, 1998.
Pré-requisitos:
MAT1161 ou MAT1181 ou MAT1158

MAT1182 - CÁLCULO  A VÁRIAS VÁRIAVEIS I ESPECIAL
Ementa:
Funções de 2 e 3 variáveis: gráfico, domínio, imagem; continuidade e diferenciabilidade de funções de 2 e 3 variáveis; derivadas parciais e gradiente; espaços tangentes a gráficos e aproximação linear; classificação local de pontos críticos via Hessiana; compacidade e teorema de Weierstrass; multiplicadores de Lagrange; integrais duplas em coordenadas cartesianas e polares; integrais triplas em coordenadas cartesianas, cilíndricas, e esféricas. Tópicos adicionais a critério do professor.
Bibliografia:
1) Bortolossi, H.J., "Cálculo Diferencial a Várias Variáveis. Uma Introdução à Teoria de Otimização", Editora PUC-Rio, 2002.
2) Craizer, M. e Tavares, G., "Cálculo Integral a Várias Variáveis", Editora PUC-Rio, 2002.
3) Simmons, G. F., "Cálculo com Geometria Analítica. vol. 2", MacGraw-Hill, 1998.
Pré-requisitos:
(MAT1162 e MAT1200) ou (MAT1182 e MAT1200)

MAT1163 - CÁLCULO  A VÁRIAS VÁRIAVEIS II
Ementa:
Jacobiana e o conceito de derivada de uma função vetorial; teorema da função implícita (para funções escalares); teorema da função inversa; integração dupla e tripla com mudanças gerais de coordenadas; curvas e vetores velocidade; integrais de linha (no plano e no espaço); integrais de superfície; divergente e rotacional; teoremas de Green, Gauss e Stokes.
Bibliografia:
1) Bortolossi, H.J., "Cálculo Diferencial a Várias Variáveis. Uma Introdução à Teoria de Otimização", Editora PUC-Rio, 2002.
2) Craizer, M. e Tavares, G., "Cálculo Integral a Várias Variáveis", Editora PUC-Rio, 2002.
Pré-requisitos: (MAT1162 e MAT1200) ou (MAT1182 e MAT1200)

MAT1183 - CÁLCULO  A VÁRIAS VÁRIAVEIS II ESPECIAL
Ementa: Jacobiana e o conceito de derivada de uma função vetorial; teorema da função implícita (para funções escalares); teorema da função inversa; integração dupla e tripla com mudanças gerais de coordenadas; curvas e vetores velocidade; integrais de linha (no plano e no espaço); integrais de superfície; divergente e rotacional; teoremas de Green, Gauss e Stokes. Tópicos adicionais a critério do professor.
Bibliografia:
1) Bortolossi, H.J., "Cálculo Diferencial a Várias Variáveis. Uma Introdução à Teoria de Otimização", Editora PUC-Rio, 2002.
2) Craizer, M. e Tavares, G., "Cálculo Integral a Várias Variáveis", Editora PUC-Rio, 2002.
Pré-requisitos: (MAT1162 e MAT1200) ou (MAT1182 e MAT1200)

MAT1154 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E DE DIFERENÇAS
Ementa:
Equações lineares elementares de 1a ordem (variáveis separáveis, lineares). Equações de diferenças lineares de ordem 1. Equações diferenciais e de diferenças de segunda ordem lineares com coeficientes constantes. Sistemas de equações diferenciais e de diferenças lineares de coeficientes constantes. Transformada de Laplace. Séries de potências.
Bibliografia:
1) Boyce, W. E. e Di Prima, R. C., "Equações Diferenciais e Problemas de Valores de Contorno", LTC., 1994.
2) Svetlichny, G., "Equações de Diferenças Finitas", Apostila do Departamento de Matemática, PUC-Rio, 1999.
Pré-requisitos
: MAT1161 ou MAT1181 ou MAT1004

MAT1200 - ÁLGEBRA LINEAR
Ementa:
Geometria analítica, com ênfase em retas e planos no espaço, equações paramétricas e intrínsecas. Distância, norma e produto interno. Transformações lineares descritas por matrizes ou como operações geométricas. Autovalores e autovetores.
Bibliografia:

1) Anton, H. e Rorres, C.,  "Álgebra Linear com Aplicações", Bookman, 2001.
Pré-requisitos:
Nenhum

Aministração / Arquitetura / Informática

MAT1002 - INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA (PARA INFORMÁTICA)
Ementa: Teoria dos conjuntos. Álgebra dos conjuntos e booleana. Relações e funções. Conjunto dos inteiros. Divisibilidade, números primos e congruências. Somas.
Bibliografia:
J. L. Gersting, "Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação", LTC, 2004.
Pré-requisitos: Nenhum

MAT1035 - CÁLCULO PARA INFORMÁTICA I
Ementa: Funções e gráficos; derivadas; aplicações de derivadas; método de Newton; integrais indefinidas e equações diferenciais com variáveis separadas; integral definida; exponencial e logaritmo; funções trigonométricas; métodos de integração; integração numérica e regra de Simpson; regra de l´Hôpital.
Bibliografia:
1) Malta, I., Lopes, H., e Pesco, S., "Cálculo a uma Variável. vol. 2", Editora PUC-Rio, 2002.
2) Edwards, C.H. e Penney, D. E., "Cálculo com Geometria Analítica", Prentice-Hall do Brasil, 1997.
Pré-requisitos: Nenhum

MAT1036 - CÁLCULO PARA INFORMÁTICA II
Ementa: Sequências; limites de sequências; subsequências; séries; critérios de convergência; comparação, integral; razão; séries alternadas; séries de potências; séries de Taylor; séries de Fourier.
Bibliografia: N/D
Pré-requisitos: MAT1004 ou MAT1035 ou MAT1161 ou MAT1181

MAT1071 - MATEMATICA DO ESPAÇO E DAS FORMAS

Ementa: Coordenadas cartesianas no plano e no espaço. Distância entre pontos. Vetores no plano e no espaço. Produto interno. Produto vetorial. Determinante como área e volume. Equações da reta e do plano. Mudanças de coordenadas e trabsformações lineares.
Bibliografia:
1) Anton, H. e Rorres, C.,  "Álgebra Linear com Aplicações", Bookman, 2001.
Pré-requisitos:
Nenhum

MAT1072 - CÁLCULO NA ARQUITETURA
Ementa:
Seqüências. Limites. Funções. Continuidade. Derivadas. Derivadas de ordem superior. Funções implícitas e suas derivadas. Máximos e Mínimos. Interpretação geométrica da derivada (tangentes e normais à curva). Integral: conceito e propriedades. Integrais definidas e indefinidas. Cálculo de área e volume por integrais. Equações diferenciais elementares.
Bibliografia:
1) Edwards, C. H. e Penney, D. E., "Cálculo com Geometria Analítica Vol 1", Prentice-Hall do Brasil, 1997.
Pré-requisitos: Nenhum

MAT1082 - LÓGICA (PARA INFORMÁTICA)
Ementa: Análise lógica da linguagem cotidiana; sentido lógico-matemático convencional dos conectivos; argumentos; lógical sequencial; regras de formação de fórmulas; sistemas dedutivos; provas formais; axiomática e raciocínio dedutivo; lógica de predicados de primeira ordem; valores-verdade e funções de avaliação; tabelas-verdade; relações entre sintaxe e semântica; circuitos algébricos. 
Bibliografia:
1) P. B. Menezes e E. H. Haeusler,  "Teoria das Categorias para Ciência da Computação", Sagra Luzzatto, 2006.
Pré-requisitos: Nenhum

MAT1127 - MATEMÁTICA APLICADA PARA ADMINISTRAÇÃO I
Ementa: Números reais; equações e sistemas lineares; equações do segundo grau; funções elementares e representação gráfica; limite e continuidade de funções. Em todos os tópicos anteriores serão vistos exemplos e aplicações ligados à Administração.
Bibliografia:
1) S. T. Tan, "Matemática Aplicada à Administração e Economia", Pioneira/Thomson Learning, 2001.
Pré-requisitos: Nenhum

MAT1128 - MATEMÁTICA APLICADA PARA ADMINISTRAÇÃO II
Ementa: Álgebra matricial; análise insumo-produto; derivação de funções de uma variável real e suas aplicações ao traçado de gráficos. Máximos e mínimos; análise margi-nal, taxas relacionadas, processo de otimização. Em todos os tópicos anteriores serão vistos exemplos e aplicações ligadas à Administração.
Bibliografia:
1) S. T. Tan, "Matemática Aplicada à Administração e Economia", Pioneira/Thomson Learning, 2007.
Pré-requisitos: MAT1050 ou MAT1127 ou MAT1161 ou MAT1181 ou MAT1158

MAT1129 - MATEMÁTICA APLICADA PARA ADMINISTRAÇÃO III
Ementa: Função de mais de uma variável, derivadas parciais, máximos e mínimos condicionados; integração; análise marginal, excedente do consumidor, excedente do produtor; equações diferenciais lineares de primeira ordem e as de variáveis diferenciais. Em todos os tópicos anteriores serão vistos exemplos e apli-cações à administração.
Bibliografia:
1) S. T. Tan, "Matemática Aplicada à Administração e Economia", Pioneira/Thomson Learning, 2007.
Pré-requisitos: MAT1128

MAT1135 - MATEMÁTICA PARA INFORMÁTICA I
Ementa: Funções e gráficos; derivadas; aplicações de derivadas; método de Newton; integrais indefinidas e equações diferenciais com variáveis separáveis; integral definida; exponencial definida; exponencial e logaritmo; funções trigonométricas; métodos de integração; integração numérica e regra de Simpson; regra de L'Hôpital.
Bibliografia:
1) M. A. Munem e D. J. Foulis, "Cálculo vol 1", LTC, 1982.
Pré-requisitos: Nenhum

MAT1210 - ÁLGEBRA LINEAR PARA INFORMÁTICA I
Ementa: Matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares. Vetores no plano e no espaço. Operações com vetores. Norma de um vetor. Vetores unitários. Distância entre dois pontos. Ponto médio de um segmento. Produto interno e produto escalar. Ângulo entre dois vetores. Vetores ortogonais. Produto vetorial e produto misto. Equações paramétricas e retas e planos. Distâncias e posições relativas. Espaços vetoriais (espaços vetoriais reais, subespaços vetoriais, combinação linear, dependência e independência linear., base de um espaço vetorial, mudança de base). Transformações lineares (definição, núcleo e imagem de uma transformação linear, aplicações lineares e matrizes, algumas transformações lineares especiais, operações e composições de transformações lineares). Autovalores e autovetores (cálculo dos autovalores e autovetores de uma matriz, diagonalização de operadores: cálculo da potências de matrizes).
Bibliografia:
1) Steinbruch, A., e Winterle, P., "Geometria analitica 2.ed.", McGraw-Hill, 1987.
2) Steinbruch, A., e Winterle, P., "Algebra linear. 2. ed", Pearson Education do Brasil, 1987.
Pré-requisitos: MAT1002 ou MAT1132

Bacharelado

Observação: As ementas de disciplinas do tipo "sigla dupla" são indicadas pelas letras "SD"; para estas são indicadas as disciplinas correspondentes na pós-graduação.


MAT1060 - INTRODUÇÃO À HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Ementa: Estudo detalhado de certos tópicos-chave, tais como os Elementos de Euclides, a formulação do Cálculo por Newton e Leibnitz e a descoberta da geometria não-euclidiana. Apresentação mais breve de outros momentos importantes para formar uma visão global do desenvolimento orgânico da Matemática. Serão destacadas as origens de conceitos e notações, as maneiras de pensar e o ponto de vista de matemáticos de várias épocas em relação com a História.
Bibliografia:
Katz, “An Introduction to the history of mathematics”
Pré-requisitos: Nenhum

MAT1202 - ÁLGEBRA LINEAR II

Ementa: Decomposição LU e QR. Cálculo de autovalores e de autovetores. Aplicações. Noções sobre a complexidade computacional dos algoritmos de álgebra linear numérica. São desenvolvidas atividades de laboratório semanalmente.
Bibliografia:
1) Anton, H. e Rorres, C.,  "Álgebra Linear com Aplicações", Bookman, 2001.
2) Strang, G., "Linear Algebra and its Applications", Harcourt Brace Jovanovich, 1988.
Pré-requisitos: MAT1200

MAT1223 - ESPAÇOS VETORIAIS E TRANSFORMAÇÕES LINEARES (SD: MAT2215)

Ementa: Corpos e espaços vetoriais, base, dimensão, álgebra de matrizes e operadores lineares. Os espaços n-dimensionais real e complexo como espaços normados. Escalonamento e determinantes. Matrizes inversíveis. Autovalores, autovetores, subespaços invariantes. Polinômio característico. Diagonalização de operadores, produto interno. Bases ortogonais. Operadores auto-adjuntos, matrizes simétricas. Teorema espectral. Forma de Jordan real e complexa.
Bibliografia:
1) Lima, E. L., “Álgebra Linear”, Coleção Matemática Universitária (SBM), 1999.
2) Hoffman, K. e Kunze, R., “Álgebra Linear” LTC, 1979.
Pré-requisitos: MAT1200

MAT1224 - ESTRUTURAS ALGÉBRICAS I (SD: MAT 2220)
Ementa: Anéis, anéis de polinômios, ideais. Anéis quocientes. Homomorfismos. Corpo de frações de domínio de integridade. Anéis euclidianos. Irredutibilidade de polinômios. Grupos. Grupos de permutações. Grupos de matrizes. Grupos abelianos. Homomorfismos e grupos quocientes. Ações de grupos.
Bibliografia:
1) Garcia, A.; Lequain, Y., “Elementos de Álgebra”, Projeto Euclides, 2002.
2) Artin, M., “Álgebra”, Prentice-Hall, 1991.
Pré-requisitos: (MAT1605 E MAT1310)

MAT1225 - ESTRUTURAS ALGÉBRICAS II (SD: MAT2221)
Ementa: Corpos e extensões de corpos. Corpos de números algébricos. Corpos finitos, característica de um corpo. Construções por régua e compasso. Teoria de Galois. Exemplos de grau baixo. Resolução das equações de graus 3 e 4. Grupos solúveis e resolução por radicais. Exemplos de equações que não podem ser resolvidas por radicais.
Bibliografia:
1) Edwards, H. M., “Galois Theory”, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1997.
2) Chambert-Loir, A., “A Field Guide to Algebra”, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2004.
Pré-requisitos: MAT1224

MAT1231 - ÁLGEBRA LINEAR NUMERICA (SD: MAT2229)
Ementa: Álgebra linear do ponto de vista computacional. Revisão da teoria: normas vetoriais e matriciais, projeções ortogonais. Algoritmos de álgebra matricial e o efeito de erros de arredondamento. Sistemas de equações lineares: a decomposição LU, sistemas positivos definidos, em banda, simétricos, em blocos, esparsos. Métodos iterativos, gradientes conjugados e métodos relacionados. Métodos para calcular autovalores: métodos de potência e outros métodos iterativos. Métodos diretos para problemas simétricos. As decomposições QR e SVD (em valores singulares) com algumas aplicações. Aplicações a problemas oriundos de discretização de equações diferenciais parciais.
Bibliografia:
1) Demmel, J., “Applied Numerical Linear Algebra”, SIAM, 1997.
2) Golub, G.; Van Loan, C., “Matrix Computations”, Johns Hopkins University Press, 1989.
Pré-requisitos: (MAT1202 e INF1001) OU (MAT1223 E INF1001)

MAT1303 - ELEMENTOS MATEMÁTICOS DE COMPUTAÇÃO GRÁFICA (SD: MAT2461)
Ementa: Computação gráfica 2D com aplicações à modelagem e visualização de gráficos de funções, curvas implícitas e curvas paramétricas utilizando bibliotecas OPENGL. Introdução à modelagem geométrica. Computação gráfica 3D com aplicações à modelagem e visualização de superfícies implícitas e paramétricas.
Bibliografia:
1) Pesco, S.; Lopes, H.. Apostila: "Notas de elementos matemáticos para computação gráfica". Departamento de Matemática, PUC-Rio.
2) Adams, A.; Rogers, D. “Mathematical Elements for Computer Graphics”, Mac-Graw Hill., 1989.
Pré-requisitos: (INF1001 e MAT1161) ou (INF1001 e MAT1181) ou (INF1001 e MAT1158)

MAT1305 - MODELAGEM GEOMÉTRICA (SD: MAT2462)

Ementa: Splines. Algoritmos de Bézier e Casteljau. Curvas e superfícies de Bézier e B-splines. Interpolação. O problema da continuidade. Superfícies de Coons e Gordon.
Bibliografia:
1) Farin, G. “Curves and Surfaces for CAGD”, Academic Press, 1993.
2) Mortenson, M. E. “Geometric Modeling”, Wiley, 1997.
Pré-requisitos: (MAT1163 e MAT1303) ou (MAT1183 e MAT1303)

MAT1310 - MATEMÁTICA DISCRETA
Ementa: Teoria dos conjuntos e lógica elementar. Números naturais e inteiros. Indução e recorrência. Somatórios. Teoria dos números: divisibilidade, primos, mdc, congruências, aplicações. Problemas de contagem, permutações e combinações, fatoriais e números binomiais. Probabilidade discreta. Teoria de grafos: algoritmo de Dijkstra, algoritmo do carteiro, árvores. Fluxos em grafos: teorema max-flow min-cut. Grafos eulerianos, hamiltonianos, planares, e coloridos.
Bibliografia:
1) Lovasz, L.; Pelikan, J.; e Vesztergombi, K. Matemática Discreta. Coleção Textos Universitários (SBM), 2003.
2) Rosen, K. Discrete Mathematics and its Applications. McGraw-Hill, 1995.
Pré-requisitos: Nenhum

MAT1406 - MÉTODOS NUMÉRICOS EM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (SD: MAT2447)
Ementa: Ambientes computacionais para equações diferenciais. Computação e visualização científica. Problema de valor inicial: métodos de passo simples e múltiplo, interpolação polinomial, estabilidade e equações stiff, sistemas lineares e não-lineares. Método dos mínimos quadrados. Métodos de Newton. Problemas de valor fronteira: método das diferenças finitas para problemas lineares e solução do problema discretizado. Método para problemas não-lineares: chute, projeções, colocação, Galerkin, e aproximação por splines. Métodos para encontrar autovalores. Métodos explícitos e implícitos para equações elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Métodos semidiscretos. Erros e estabilidade.
Bibliografia:
1) Golub, G.; Ortega, J. “Scientific Computing and Differential Equations: an Introduction to Numerical Methods”, Academic Press, 1991.
2) Strang, G. “Introduction to Applied Mathematics”, Wellesley Cambridge Press, 1986.
Pré-requisitos: MAT1154 e MAT1202

MAT1411 - INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
Ementa: Séries e transformadas de Fourier. Equações diferenciais parciais de segunda ordem lineares: hiperbólicas, parabólicas e elípticas. Representação integral de soluções.
Bibliografia:
1) Figueiredo, D. G., “Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais”, Projeto Euclides, 1997.
2) Figueiredo, D.G.; Neves, A. F., “Equações Diferenciais Aplicadas”, Coleção Matemática Universitária, 1997.
3) Iório, V. “EDP: Um Curso de Graduação”, Coleção Matemática Universitária, 1989.
Pré-requisitos: (MAT1154 e MAT1605)

MAT1413 - INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE (SD: MAT2303)
Ementa: Teoria clássica da probabilidade. Problemas combinatórios. Distribuições de Gauss, Laplace e Poisson. Axiomas de probabilidade. Variáveis aleatórias. Expectância e variância. Lei dos grandes números. Teorema central do limite, amostras. Testes de hipóteses, estimativa de parâmetros.
Bibliografia:
1) James, B. R. "Probabilidade: um Curso em Nível Intermediário", Projeto Euclides, 1981.
2) Feller, W., “Introdução à Teoria das Probabilidades e suas Aplicações”, Edgard Blucher, 1976.
Pré-requisitos: (MAT1154 e MAT1605)

MAT1510 - INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA
Ementa: Números complexos. Definição e propriedades das funções elementares: potências, exponenciais, logaritmo e funções trigonométricas. Funções analíticas. Equações de Cauchy-Riemann. Integração, funções definidas por integrais. Formula de Cauchy. Teoremas do Módulo Máximo e Fundamental da Álgebra. Séries de Taylor e de Laurent. Classificação das singularidades. Teorema do resíduo. Calculo de integrais.
Bibliografia:
1) Soares, M., “Cálculo em Uma Variável Complexa”, Coleção Matemática Universitária (SBM), 2001.
2) Churchill, R., “Variável Complexa e suas Aplicações”, Mc-Graw Hill do Brasil, 1975.
Pré-requisitos: (MAT1163 E MAT1605) OU (MAT1183 E MAT1605)

MAT1605 - INTRODUÇÃO À ANÁLISE
Ementa: Conjuntos e relações. Demonstrações por indução e contradição, exemplos. Números naturais. Cardinalidades finitas e infinitas, enumerabilidade. Números racionais e reais. Limites e convergência de seqüências e séries numéricas. Topologia da reta: abertos, fechados, compactos, conexos, densos. Conjunto ternário de Cantor. Funções contínuas: Teorema de Bolzano-Weierstrass, Teorema do Valor Intermediário, continuidade uniforme.
Bibliografia:
1) Lima, E. L., “Análise Real, vol. I”, Coleção Matemática Universitária (SBM), 2001.
2) Lima, E. L., “Curso de Análise, vol. I”, Projeto Euclides, 1995.
3) Ávila, G. “Introdução à Análise Matemática”, Ed. Edgard Blucher, 1999.
Pré-requisitos: Nenhum

MAT1606 - ANÁLISE REAL (SD: MAT2620)
Ementa: Revisão de topologia da reta e continuidade de funções da reta na reta. Diferenciação, Teorema do Valor Médio, regra de l'Hopital, série de Taylor e funções analíticas. Integral de Riemann. Teorema fundamental do cálculo. Seqüências e séries de funções. Teorema de Stone-Weierstrass. Teorema de Arzela–Ascoli. Séries de Fourier.
Bibliografia:
1) Lima, E. L., “Análise Real, vol. I”, Coleção Matemática Universitária (SBM), 2001.
2) Lima, E. L., “Curso de Análise, vol. I”, Projeto Euclides, 1995.
3) Ávila, G. “Introdução à Análise Matemática”, Ed. Edgard Blucher, 1999.
Pré-requisitos: MAT1605

MAT1612 - ANÁLISE NO Rn (SD: MAT2624)
Ementa: Topologia do espaço euclidiano de n dimensões: abertos, fechados, compactos, conexos.  Normas e completude. Funções de várias variáveis; continuidade e derivadas como transformações lineares. Princípio da contração. Teorema da função inversa e da função implícita, forma local das submersões e imersões, teorema do posto. Formula de Taylor. Integração múltipla a Riemann, integrabilidade. Integração iterada e formula de mudança de variáveis.
Bibliografia:
1) Lima, E. L., “Curso de Análise, vol. 2”, Projeto Euclides, 2000.
2) Lang, S., “Undergraduate Analysis”, Springer, 1997.
Pré-requisitos: MAT1606

MAT1702 - INTRODUÇÃO À TOPOLOGIA (SD: MAT2714)
Ementa: Espaços métricos, espaços topológicos e continuidade. Espaços conexos e compactos. Classificação de superfícies. Grupo fundamental e aplicações. Espaços de recobrimento.
Bibliografia:
1) Lima, E. L., "Grupo Fundamental e Espaço de Recobrimento", Projeto Euclides, 1993.
2) Massey, W., "A Basic Course in Algebraic Topology", Graduate Texts in Mathematics (Springer), 1991.
Pré-requisitos: (MAT1163 E MAT1605) ou (MAT1183 E MAT1605)

MAT1811 - GEOMETRIA DIFERENCIAL (SD: MAT2812)
Ementa: Curvas no plano e no espaço. Triedro e equações de Frenet; aplicações. Superfícies no espaço. Cálculo em superfícies: áreas, isometrias, aplicações conformes. Orientação. Aplicação normal de Gauss, curvaturas, linhas especiais (linha de curvatura, curvas assintóticas, geodésicas). Teorema egregium de Gauss. Teorema de Gauss-Bonnet e aplicações.
Bibliografia:
1) Do Carmo, M., "Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies", Coleção Matemática Universitária (SBM), 2005.
2) Kühnel, W., “Differential Geometry”, American Mathematical Society, 2002.
Pré-requisitos: (MAT1163 e MAT1605) ou (MAT1183 E MAT1605)

MAT1901 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (SD: MAT 2905)
Ementa: Equações diferenciais de primeira ordem. Redução de equações de ordem superior a sistemas de primeira ordem. Teoremas de existência e unicidade de soluções. Dependência das condições iniciais. Extensão de soluções. Sistemas lineares com coeficientes constantes. Equações lineares não-homogêneas e equações lineares não-autônomas. Teorema de Poincaré-Bendixson.
Bibliografia:
1) Sotomayor, J., “Lições de Equações Diferenciais Ordinárias”, Projeto Euclides, 1979.
2) Hirsch, M; Smale, S., “Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra”, Academic Press, 1974.
Pré-requisitos:: (MAT1154, MAT1223 e MAT1606)

Pós-Graduação

Observação: As Disciplinas Fundamentais de Pós-Graduação são indicadas pelas letras "DF"; estas disciplinas são sujeitas a regras especiais - veja as regras da Pós-Graduação.

Observação: As ementas de disciplinas do tipo "sigla dupla" são indicadas pelas letras "SD"; para estas são indicadas as disciplinas correspondentes no bacharelado.


MAT2215 - ÁLGEBRA LINEAR (SD: MAT1223)
Ementa: Corpos e espaços vetoriais, base, dimensão, álgebra de matrizes e operadores lineares. Os espaços n-dimensionais real e complexo como espaços normados. Escalonamento e determinantes. Matrizes inversíveis. Autovalores, autovetores, subespaços invariantes. Polinômio característico. Diagonalização de operadores. Forma de Jordan real e complexa. Produto interno. Bases ortogonais. Decomposição em valores singulares. Operadores auto-adjuntos, matrizes simétricas. Teorema espectral.
Bibliografia básica:
1) Lima, E. L., Álgebra Linear, Coleção Matemática Universitária (SBM), 1999.
2) Hoffman, K.; Kunze, R., Álgebra Linear, LTC, 1979.

MAT2220 - ESTRUTURAS ALGÉBRICAS I (DF; SD: MAT1224)
Ementa: Anéis, anéis de polinômios, ideais. Anéis quocientes. Homomorfismos. Corpo de frações de domínio de integridade. Anéis euclidianos. Irredutibilidade de polinômios. Grupos. Grupos de permutações. Grupos de matrizes. Grupos abelianos. Homomorfismos e grupos quocientes. Ações de grupos.
Bibliografia básica:
1) Garcia, A.; Lequain, Y., Elementos de Álgebra, Projeto Euclides, 2002.
2) Artin, M., Álgebra, Prentice-Hall, 1991.

MAT2221 - ESTRUTURAS ALGÉBRICAS II (SD: MAT1225)
Ementa: Corpos e extensões de corpos. Corpos de números algébricos. Corpos finitos, característica de um corpo. Construções por régua e compasso. Teoria de Galois. Exemplos de grau baixo. Resolução das equações de graus 3 e 4. Grupos solúveis e resolução por radicais. Exemplos de equações que não podem ser resolvidas por radicais.
Bibliografia básica:
1) Edwards, H. M., Galois Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1997.
2) Chambert-Loir, A., A Field Guide to Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2004.

MAT2225 - ÁLGEBRA COMUTATIVA
Ementa: Ideais em anéis comutativos. Espectro de um anel. Topologia de Zariski. Radicais. Módulos. Produto tensorial. Localização. Aneis noetherianos e artinianos. Decomposição primaria. Suporte. Extensões algébricas, teorema de normalização de Noether e Nullstellensatz de Hilbert. Extensões inteiras, teoremas de going up e going down. Anéis de avaliação discretas. Ideais inversíveis. Completamento, lema de Artin-Rees, teorema de Krull, lema de Hensel. Teoria da dimensão.
Bibliografia básica:
1) Atiyah, M.F.; Macdonald, I.G.Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1994.
2) Matsumura, H. Commutative Algebra, Benjamin-Cummings Pub Co, 1980.
3) Peskine, C. An algebraic introduction to Complex Projective Geometry: 1. Commutative Algebra, Cambridge University Press, 2009.

MAT2229 - ÁLGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL (DF; SD: MAT1231)
Ementa: Normas vetoriais e matriciais, projeções ortogonais. Algoritmos de álgebra matricial e o efeito de erros de arredondamento. Sistemas de equações lineares: a decomposição LU, sistemas positivos definidos, em banda, simétricos, em blocos, esparsos. As decomposições QR e SVD (em valores singulares); aplicações. Métodos iterativos, espaços de Krylov, gradientes conjugados e métodos relacionados. Métodos para calcular autovalores.
Bibliografia básica:
1) Demmel, J., Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.
2) Golub, G.; Van Loan, C., Matrix Computations, Johns Hopkins University Press, 1989.

MAT2255 - GEOMETRIA ALGÉBRICA
Ementa: Espaço afim. Fechados. Topologia de Zariski. Funções regulares. Feixes. Variedades Algébricas. Morfismos. Variedades projetivas. Teorema de propriedade. Componentes irredutíveis. Funções racionais. Morfismos finitos. Dimensão: dimensão de Krull, grau de transcendência, espaço tangente de Zariski. Lemma de Krull. Propriedades locais. Pontos lisos. Mapas racionais. Blow-up. Normalização. Dimensão das fibras. Teorema de Bertini. Fibrados vetoriais. Fibrado canônico, fórmula de adjunção. Divisores, fibrados inversíveis, divisor canônico. Sistemas lineares. Fibrados em retas amplos, imersões no espaço projetivo. Feixes coerentes. Teorema de Riemann-Roch para curvas. Aplicações. Números de interseção. Teorema do índice de Hodge. Mapas birracionais de superfícies.
Bibliografia básica:
1) Shafarevich, I.R. Basic Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1994.
2) Kempf, G. Algebraic Varieties, Cambridge University Press, 1993.
3) Smith, K.E., Kahampää, L., Kekäläinen, P., Traves, W. An Invitation to Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 2000.

MAT2256 - INTRODUÇÃO À GEOMETRIA COMPLEXA
Ementa: Funções holomorfas de várias variáveis. Variedades complexas. Métricas de Kähler. Blow-up. Fibrados complexos, conexões, curvatura, classes de Chern. Feixes e cohomologia. Formas harmônicas, teorema de Hodge e aplicações. Identidades de Kähler, decomposição de Hodge. Dualidade de Serre-Kodaira. Decomposição de Lefschetz. Divisores e fibrados em retas. Teorema de Bertini. Fórmulas de Adjunção. Teorema de anulação de Kodaira. Teorema das seções hiperplanas de Lefschetz. Teorema de Lefschetz sobre as classes (1,1). Variedades algébricas. Teorema de Chow. Teorema de imersão de Kodaira. Variedades de Picard e Albanese. Aplicações.
Bibliografia básica:
1) Griffiths, P.; Harris, J. Principles of Algebraic Geometry, Wiley-Interscience, 1994.
2) Voisin, C. Théorie de Hodge et Géometrie Algébrique Complexe, Societe Mathematique de France, 2002.
3) Huybrechts, D. Complex Geometry, Springer-Verlag, 2004.

MAT2303 - INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE (DF; SD: MAT1413)
Ementa: Axiomas de probabilidade. Variáveis aleatórias discretas. Problemas combinatórios. Varáveis aleatórias contínuas. Esperança e variância. Distribuições condicionais, esperança condicional. Funções geradoras, funções características. Lei dos grandes números. Teorema central do limite. Introdução ao passeio aleatório.
Bibliografia básica:
1) James, B.R. Probabilidade: um Curso em Nível Intermediário, Projeto Euclides, 1981.
2) Feller, W., Introdução à Teoria das Probabilidades e suas Aplicações, Edgard Blucher, 1976.
3) Grimmett, G., Stirzaker, D. Probability and Random Processes, 3rd ed, Oxford, 2001.

MAT2304 - TEORIA DA PROBABILIDADE I
Ementa: Espaços de probabilidade e propriedades básicas. Construção de medidas de probababilidade em R e Rn. Variáveis e vetores aleatórios. Distribuições de probabilidade e funções de distribuição em Rn. Independência e medidas produto. Esperança de variáveis aleatórias: propriedades e desigualdades básicas; modos de convergência de v.a.'s. Leis dos grandes números: lei fraca, lemas de Borel-Cantelli. Lei Forte dos Grandes Números. Teoremas de uma, duas e três séries de Kolmogorov. Funções características e convergência em distribuição em Rn. O Teorema de Lindeberg-Feller. Aplicações. Tópicos adicionais: Teorema de Extensão de Kolmogorov (existência de sequências de variáveis aleatórias i.i.d.)
Bibliografia básica:
1) Jacod, J.; Protter, P. Probability Essentials, Springer, 2004.
2) Billingsley, P. Probability and Measure, 3rd ed. Wiley, 1995.
3) Chung, K.L. A course in Probability Theory, third ed., Associated Press, 2001.
Bibliografia complementar:
1) Shyriaev, A.N.; Boas, R.P. Probability, Springer, 1995.
2) Durrett, R. Probability: Theory and Examples, fourth ed. Cambridge, 2010.
3) Varadhan, S.R.S. Probability Theory. Courant Lecture Notes. AMS, 2001.

MAT2305 - TEORIA DA PROBABILIDADE II
Ementa: Leis estáveis e infinitamente divisíveis. Esperança e probabilidade condicionais; propriedades, teoremas de existência e regularização. Martingais em tempo discreto: teorema da decomposição de Doob, desigualdades de Doob, tempos de parada, teorema da parada opcional, desigualdades maximais e de cruzamentos; o teorema de convergência de Martingais. Cadeias de Markov; passeios aleatórios em espaço enumerável, transiência e recorrência. Teorema ergódico de Birkhoff.
Bibliografia básica:
1) Jacod, J.; Protter, P. Probability Essentials, Springer, 2004.
2) Billingsley, P. Probability and Measure, 3rd ed. Wiley, 1995.
3) Chung, K.L. A course in Probability Theory, third ed., Associated Press, 2001.
Bibliografia complementar:
1) Shyriaev, A.N.; Boas, R.P. Probability, Springer, 1995.
2) Durrett, R. Probability: Theory and Examples, fourth ed. Cambridge, 2010.
3) Varadhan, S.R.S. Probability Theory. Courant Lecture Notes. AMS, 2001.

MAT2447 - COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (DF; SD: MAT1406)
Ementa: Problemas de valor inicial: métodos de passo simples e múltiplo, interpolação polinomial, estabilidade e equações stiff, sistemas lineares e não lineares. Problemas de fronteira: método das diferenças finitas para problemas lineares e solução do problema discretizado. Método para problemas não lineares: shooting, projeções, colocação, Galerkin, e aproximação por splines. Métodos explícitos e implícitos para equações elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Transformadas de Fourier. Discretização a partir de formas integrais. Métodos semidiscretos. Erros e estabilidade.
Bibliografia básica:
1) Iserles, A. A first course in the Numerical Analysis of Differential Equations. Cambridge Unive. Press, 1996.
2) Smith, G. D. Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. 2nd ed. Oxford Univ. Press, 1985.
3) Golub, G.; Ortega, J. Scientific Computing and Differential Equations: an Introduction to Numerical Methods, Academic Press, 1991.

MAT2451 - ANÁLISE E APROXIMAÇÃO DE SIMULAÇÕES DE FENÔMENOS FÍSICOS
Ementa: Análise de Fourier e wavelets para EDP discretas. Espaços de aproximação; elementos finitos. Soluções de EDP por viscosidade. Formulações variacionais. Aproximações invariantes. Invariantes físicos e cálculo exterior discreto. Simulações por amostragem e métodos de partículas.
Bibliografia básica:
1) Mallat, S. A wavelet tour of signal processing. Academic Press, 1999.
2) Hughes, T.J.R. The Finite Element Method. Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Dover, 2000.
3) Stern, A.; Desbrun, M. Discrete Geometric Mechanics for Variational Integrators. Proceedings SIGGRAPH 2006.
Bibliografia complementar:
1) Gawlik, E.; Mullen, P.; Pavlov, D.; Marsden, J.E.; Desbrun, M. Geometric, Variational Discretization of Continuum Theories. Physica D: Nonlinear Phenomena, 240(21), 1724-1760, 2011.
2) Paiva, A.; Petronetto, F.; Lewiner, T.; Tavares, G. Simulação de fluidos sem malha, uma introdução do método SPH. 27o. Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, 2009.

MAT2461 - ELEMENTOS MATEMÁTICOS PARA COMPUTAÇÃO GRÁFICA (SD: MAT1303)
Ementa: Transformações geométricas; interface 3d; arcball e quatérnios; desenho de curvas; amostragem; base de estrutura de dados geométricos; renderização e iluminação; gráficos de funções 2d e 3d; base de programação em C/C++ ou Python; técnicas de openGL.
Bibliografia básica:
1) Pesco, S., Lopes, H. Notas de elementos matemáticos para computação gráfica. Departamento de Matemática, PUC-Rio.
2) Angel, E. Interactive Computer Graphics: A Top-Down Approach with OpenGL, 4th Edition, Addison-Wesley 2006.
3) Angel, E. OpenGL: A Primer. 4th Edition, Addison-Wesley 2007.

MAT2462 - INTRODUÇÃO À MODELAGEM GEOMÉTRICA (SD: MAT1305)
Ementa: Splines, interpolação geométrica, triangulações de Delaunay, estrutura de dados para triangulação, superfícies parametrizadas e implícitas e operações booleanas.
Bibliografia básica:
1) Farin, G. Curves and Surfaces for CAGD. Academic Press, 1993.
2) Mortenson, M.E. Geometric Modeling, Wiley, 1997.
3) Botsch, M., Pauly, M., Kobbelt, L., Alliez, P., Levy, B., Bischoff, S., Rössl, C. Geometric Modeling Based on Polygonal Meshes. SIGGRAPH Course Notes, 2006.
Bibliografia complementar:
1) Boissonnat, J.-D., Yvinec, M. Algorithmic Geometry, Cambridge University Press, 1998.
2) Figueiredo, L.H. Geometria Computacional, 18.o Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, 1991.
3) Sorkine, O. Laplacian Mesh Processing, Eurographics STAR 2005.

MAT2463 - FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA O PROCESSAMENTO DE IMAGENS
Ementa: Modelos de imagem, convoluções discretas, suavização, filtros lineares, espaços de escala, manipulação de histogramas de cores, modelo de mistura de gaussianas e ajuste, aprendizagem estatística, recolorização, snakes, watershed, transformada em distância, transformada em florestas, segmentação por corte mínimo, morfologia matemática, feições, SIFT, rastreamento, openCV.
Bibliografia básica:
1) Teixeira, R. C. Introdução aos Espaços de Escala (EDPs em Processamento de Imagens). 23.o Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, 1991.
2) Bradski, G., Kaehler, A. Learning OpenCV: computer vision with the OpenCV library. O' Reilly, 2008.
3) da Fontoura Costa, L., Marcondes Cesar Jr., M. Shape Analysis and Classification. CRC, 2000.
Bibliografia complementar:
1) Brigham, E.O., The Fast Fourier Transform and its Applications. Prentice Hall, 1988.
2) Serra, J. Image Analysis and Mathematical Morphology. Academic Press, New York, 1982.

MAT2464 - INTRODUÇÃO À TOPOLOGIA COMPUTACIONAL
Ementa: Revisão de propriedades topológicas de complexos celulares e as definições de invariantes topológicos discretos como característica de Euler, números de Betti, ciclos de homologia. Teorias de Morse, Morse-Smale, Witten-Morse e as suas discretizações lineares por partes, de elementos finitos e de Forman com aplicações em computação gráfica. Aplicações destas técnicas em processamento, edição e criação de formas.
Bibliografia básica:
1) Zomorodian, A.J. Topology for computing, Cambridge Univ. Press, 2005.
2) Mäntylä, M. Computational topology: a study of topological manipulations and interrogations in computer graphics and geometric modeling, Finnish Academy of Technical Sciences, 1983.
3) Edelsbrunner, H. Geometry and topology for mesh generation, Cambridge Univ. Press, 2001.

MAT2465 - GEOMETRIA DISCRETA E COMPUTACIONAL
Ementa: Triangulações e complexos simpliciais; diagrama de Voronoï e de Laguerre; triangulação de Delaunay e regular, interpretação com parabolóides; eixo medial e alpha-shapes; amostragem de funções em superfícies; cálculo de geodésicas e curvaturas discretas; Laplacianos discretos e superfícies mínimas; deformação de superfícies por Laplacianos.
Bibliografia básica:
1) Boissonnat, J.-D.; Yvinec, M. Algorithmic Geometry. Cambridge University Press, 1998.
2) de Berg, M.; van Kreveld, M.; Overmars, M.; Schwarzkopf, O. Computational Geometry, Algorithms and Applications. Springer, 1997.
3) Figueiredo, L.H. Geometria Computacional, 18.o Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, 1991.
Bibliografia complementar:
1) Sorkine, O. Laplacian Mesh Processing. State-of-The-Art Report, Eurographics 2005.

MAT2502 - VARIÁVEL COMPLEXA (DF)
Ementa: Derivada complexa; equações de Cauchy-Riemann. Séries de potências; funções analíticas. Integrais de linha complexas. Índice de uma curva, homotopia. Teorema de Cauchy; fórmula integral de Cauchy; curvas homólogas. Teoremas de Morera e Goursat. Pólos. Séries de Laurent. Resíduos. Esfera de Riemann; funções meromorfas. Teorema do módulo máximo. Lema de Schwartz. Aplicações de Möbius; cross-ratio. Famílias normais, Teorema de Montel. Teorema da aplicação de Riemann. Tópicos adicionais.
Bibliografia básica:
1) Gamelin, T.W. Complex Analysis. Springer, 2001.
2) Conway, J.B. Functions of One Complex Variable I. Springer; 2nd edition (1978)
3) Needham, T. Visual Complex Analysis. Oxford, 1999.

MAT2620 - ANÁLISE REAL (SD: MAT1606)
Ementa: Revisão de topologia da reta e continuidade de funções da reta na reta. Diferenciação, Teorema do Valor Médio, regra de l'Hôpital, série de Taylor e funções analíticas. Integral de Riemann. Teorema fundamental do cálculo. Sequências e séries de funções. Teorema de Stone-Weierstrass. Teorema de Arzelà–Ascoli. Séries de Fourier.
Bibliografia básica:
1) Lima, E. L., Curso de Análise, vol. I, Projeto Euclides, 1995.
2) Ávila, G. Introdução à Análise Matemática, Ed. Edgard Blucher, 1999.
3) Abbott, S. Understanding Analysis. Springer, 2001.

MAT2621 - MEDIDA E INTEGRAÇÃO (DF)
Ementa: Espaços de medida. Medida exterior; teorema de Extensão de Carathéodory. Completamento. Exemplos: medida de Lebesgue. Funções mensuráveis. Integral. Teoremas de convergência. Medidas de Borel; regularidade. Teorema de representação de Riesz no espaço de funções contínuas. Espaços L^p. Medidas-produto, Teorema de Fubini-Tonelli. Medidas com sinal, decomposição de Hahn, continuidade absoluta de medidas, teorema de Radon-Nikodym, decomposição de Lebesgue. Derivação de funções monótonas, funções de variação limitada, derivação de uma integral indefinida, pontos de densidade de Lebesgue, continuidade absoluta.
Bibliografia básica:
1) Fernandez, P. J. Medida e Integração. Projeto Euclides, IMPA, 1976.
2) Rudin, W. Real and Complex Analysis, 3rd ed. Mc-Graw Hill, 1976.
3) Bartle, R.G. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley, 1995.

MAT2622 - ANÁLISE FUNCIONAL (DF)
Ementa: Espaços vetoriais normados e espaços de Banach. Espaços duais. Lema de Zorn e teorema de Hahn-Banach - formas analíticas e geométricas. Teorema de Baire e teorema de Banach-Steinhaus. Teorema da aplicação aberta e teorema do gráfico fechado. Topologias fracas, espaços reflexivos. Espaços separáveis. Espaços de Hilbert. Teoremas de Lax-Milgram e de Stampacchia. Teoria espectral em espaços de Hilbert. Funções Lebesgue-integráveis e espaços L^p. Espaços de Sobolev. Aplicações à resolução de problemas de fronteira para equações diferenciais.
Bibliografia básica:
1) Brezis, H. Functional Analysis, Sobolev spaces, and Partial Differential Equations, Springer 2010.
2) Rudin, W. Functional Analysis, McGraw-Hill, 1991.
3) Schechter, M. Principles of Functional Analysis, American Mathematical Society 2001.

MAT2624 - ANÁLISE NO ESPAÇO Rn (DF; SD: MAT1612)
Ementa: Topologia do espaço euclidiano de n dimensões: abertos, fechados, compactos, conexos. Normas e completude. Funções de várias variáveis; continuidade e derivadas como transformações lineares. Princípio da contração. Teorema da função inversa e da função implícita, forma local das submersões e imersões, teorema do posto. Fórmula de Taylor. Integração múltipla a Riemann, integrabilidade. Integração iterada e fórmula de mudança de variáveis.
Bibliografia básica:
1) Lima, E. L., Curso de Análise, vol. 2, Projeto Euclides, 2000.
2) Lang, S., Undergraduate Analysis, Springer, 1997.
3) Pugh, C. Real Mathematical Analysis. Springer, 2010.

MAT2712 - TOPOLOGIA ALGÉBRICA I (DF)
Ementa: Homologia simplicial e singular. Excisão. Sequência de Meyer-Vietoris. Cohomologia singular e de De Rham. Orientação e dualidade em variedades.
Bibliografia básica:
1) Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002.
2) Massey, W. A Basic Course in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics. Springer, 1991.

MAT2713 - TOPOLOGIA ALGÉBRICA II
Ementa: Grupos de homotopia e espaços fibrados; grupos de homotopia de ordem superior. Espaços fibrados (fibrations) e fiber bundles; sequência exata de homotopia. Espaços fibrados universais. Cálculo elementar de alguns grupos de homotopia dos grupos clássicos.
Bibliografia básica:
1) Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002.
2) Spanier, E.H. Algebraic Topology. Revised edition. Springer, 1994.

MAT2714 - INTRODUÇÃO À TOPOLOGIA (SD: MAT1702)
Ementa: Espaços métricos, espaços topológicos. Continuidade. Espaços conexos e compactos. Grupo fundamental. Espaços de recobrimento. Classificação das superfícies.
Bibliografia básica:
1) Munkres, J.M. Topology, 2nd edition. Prentice-Hall, 2000.
2) Lima, E.L. Grupo Fundamental e Espaço de Recobrimento, Projeto Euclides, 1993.
3) Massey, W. A Basic Course in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics. Springer, 1991.

MAT2715 - TOPOLOGIA DIFERENCIAL
Ementa: Teorema de Sard. Transversalidade. Teoria da interseção módulo 2: número de interseção, grau, winding number. Teoria da interseção orientada. Teorema do ponto fixo de Lefschetz. Característica de Euler. Campos de vetores; teorema de Poincaré-Hopf. Introdução à Teoria de Morse. Classificação das superfícies compactas.
Bibliografia básica:
1) Hirsch, M. W. Differential Topology. Graduate Texts in Mathematics. Springer, 1976.
2) Milnor, J.W. Topology from the Differentiable Viewpoint. Revised edition. Princeton University Press, 1997.
3) Guillemin, V.; Pollack, A. Differential Topology. Prentice Hall, 1974.

MAT2812 - GEOMETRIA DIFERENCIAL EM R3 (DF; SD: MAT1811)
Ementa: Curvas no plano e no espaço. Triedro e equações de Frenet; aplicações. Superfícies no espaço. Cálculo em superfícies: áreas, isometrias, aplicações conformes. Orientação. Aplicação normal de Gauss, curvaturas, linhas especiais (linha de curvatura, curvas assintóticas, geodésicas). Teorema Egregium de Gauss. Teorema de Gauss-Bonnet e aplicações.
Bibliografia básica:
1) Do Carmo, M., Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, Coleção Matemática Universitária (SBM), 2005.
2) Kühnel, W., Differential Geometry, American Mathematical Society, 2002.

MAT2815 - SUPERFÍCIES DE RIEMANN I
Ementa: Definição de superfície de Riemann. Aplicações holomorfas e suas propriedades. Cartas isotérmicas. Construção de superfícies de Riemann. Superfície de Riemann de uma equação algébrica. Estruturas conformes. Recobrimentos ramificados. Fórmula de Hurwitz. Relação de Riemann. Continuação analítica. Teorema de Uniformização; demonstração e exemplos: o disco como recobrimento da esfera menos três pontos. Superfícies de Riemann como quociente do seu recobrimento universal, teorema de Poincaré-Koebe. Estruturas conformes sobre o toro. Função P de Weierstrass e outras funções elípticas. Estruturas conformes sobre anéis. Grande teorema de Picard.
Bibliografia básica:
1) Ahlfors, L. Conformal Invariants. McGraw-Hill 1973.
2) Sá Earp, R.; Toubiana, E. Introduction à la géométrie hyperbolique et aux surfaces de Riemann. Cassini, 2009.
3) da Costa, C.J. Funções elípticas, algébricas e superfícies mínimas. 18.o Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, 1991.

MAT2816 - SUPERFÍCIES DE RIEMANN II
Ementa: Feixes. Funções Algébricas. Grupo fundamental e (co)homologia singular das superfícies de Riemann compactas. Monodromia. Curvas Algébricas. Divisores, fibrados em retas, fibrado canônico. Sistemas lineares, aplicações no espaço projetivo. Cohomologia de feixes, teoremas de finitude. Teorema de Dolbeault. Dualidade de Serre. Teorema de Riemann-Roch. Formas harmônicas. Anulamento da cohomologia, fibrados de retas amplos, imersão no espaço projetivo. Curvas hiperelípticas. Grupo de Picard. Jacobiana. Teorema de Abel, Teorema de Jacobi. Aplicações às curvas algébricas e às suas jacobianas.
Bibliografia básica:
1) Foster, O. Lectures on Riemann Surfaces, Springer-Verlag, 1981
2) Narasimhan, R. Compact Riemann Surfaces, Birkhäuser, 1996.
3) Miranda, R. Algebraic Curves and Riemann Surfaces, American Mathematical Society, 1995.
Bibliografia complementar:
1) Gunning, R.C. Lectures on Riemann Surfaces, Princeton University Press, 1966.

MAT2817 - TEORIA DA REPRESENTAÇÃO
Ementa: Representações de grupos finitos. Lema de Schur. Caráteres. Funções de classe, representações irredutíveis e classes de conjugação. Representação regular. Representações induzidas e restritas. Reciprocidade de Frobenius. Álgebra grupal. Aplicações. Elementos de grupos de Lie e álgebras de Lie. Teoremas de Lie. Forma de Killing. Álgebras de Lie semi-simples. Subálgebras de Cartan. Toros maximais. Raízes. Espaços de pesos. Grupo de Weyl. Truque unitário para grupos de Lie compactos. Representações de grupos compactos. Aplicações. Representações irredutíveis de SL(n,C) e GL(n,C).
Bibliografia básica:
1) Simon, B. Representations of Finite and Compact Groups, AMS, 1995.
2) Kirilov Jr., A. An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras, Cambridge University Press, 2008.
3) Humphreys, J.E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag, 1973.
Bibliografia complementar:
1) Fulton, W.; Harris, J.Representation Theory, Springer-Verlag, 1991.
2) Bump, D. Lie Groups, Springer-Verlag, 2011.
3) Miller, W. Symmetry Groups and their Applications, Elsevier, 1972.

MAT2821 - VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS
Ementa: Variedades diferenciáveis. Exemplos. Subvariedades. Espaço tangente. Aplicações diferenciáveis. Mergulhos e imersões. Partições da unidade. Orientações. Variedades com bordo. Formas diferenciais. Derivada exterior. Teorema de Frobenius. Integração de formas. Teorema de Stokes. Aplicações.
Bibliografia básica:
1) Tu, L.W. An Introduction to Manifolds, 2nd edition. Universitext. Springer, 2010.
2) Lee, J.M. Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. Springer, 2002.

MAT2824 - INTRODUÇÃO AOS GRUPOS DE LIE E GRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES
Ementa: Grupos topológicos, os grupos clássicos, grupos de Lie, homomorfismos de grupos de Lie, sub-grupos, recobrimentos, álgebra de Lie associada a um grupo de Lie, grupos de Lie simplesmente conexos, aplicação exponencial, subgrupos fechados, teoria elementar das representações, representação adjunta, toros maximais, ações de grupos, órbitas e espaços de órbitas. Espaços homogêneos, pontos fixos, ações sobre os recobrimentos.
Bibliografia básica:
1) Chevalley, C. Theory of Lie Groups. Princeton Univ. Press, 1999.
2) Warner, F. W. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer, 1983.
3) Bredon, G.E. Introduction to Compact Transformation Groups. Academic Press, 1972.

MAT2826 - GEOMETRIA RIEMANNIANA I
Ementa: Métricas Riemannianas. Conexão Riemanniana. Geodésicas. Curvaturas. Campos de Jacobi. Variedades Riemannianas completas. Imersões isométricas. Espaços de curvatura constante. Variações de energia. Teorema de comparação de Rauch. Teorema do índice de Morse. Espaços homogêneos.
Bibliografia básica:
1) do Carmo, M.P. Geometria Riemanniana. Projeto Euclides, IMPA, 1988.
2) Cheeger, J.; Ebin, D.G. Comparison theorems in Riemannian geometry. AMS, 2008.
3) Petersen, P. Riemannian geometry, Springer, 2006.
Bibliografia complementar:
1) Hicks, N.J. Notes on differential geometry, Van Nostrand, 1965.
2) Warner, F.W. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Springer, 1983.

MAT2828 - SUPERFÍCIES MÍNIMAS DE R3 I
Ementa: Várias definições equivalentes de superfícies mínimas de R3. Exemplos clássicos e suas caracterizações geométricas. A representaçâo de Weierstrass. Estimativa de curvatura e o teorema de Bernstein. Princípio de reflexão de Schwarz. Superfícies mínimas associadas e conjugadas. Superfícies mínimas completas de curvatura total finita. Princípio do máximo, teorema de Rado e teorema do semi-sepaço. Solução de Douglas-Rado do problema de Plateau.
Bibliografia básica:
1) Dierkes, U.; Hildebrandt, S.; Sauvigny, F. Minimal surfaces. Springer, 2010.
2) Blaine Lawson, H. Lectures on minimal submanifolds. Publish or Perish, 1980.
3) Osserman, R. A survey of minimal surfaces. Dover, 1986.
Bibliografia complementar:
1) Osserman (Ed.), R. Geometry V. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, volume 90, Springer, 1997.
2) Colding, T.B.; Minicozzi II, W. A course in minimal surfaces, AMS, 2011.

MAT2905 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (DF; SD: MAT1901)
Ementa: Equações diferenciais de primeira ordem. Redução de equações de ordem superior a sistemas de primeira ordem. Teoremas de existência e unicidade de soluções. Dependência das condições iniciais. Extensão de soluções. Sistemas lineares com coeficientes constantes. Equações lineares não-homogêneas e equações lineares não-autônomas. Teorema de Poincaré-Bendixson.
Bibliografia básica:
1) Sotomayor, J., Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Projeto Euclides, 1979.
2) Hirsch, M; Smale, S., Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Academic Press, 1974.

MAT2907 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS I (DF)
Ementa: Introdução. Métodos clássicos de resolução. Equações de primeira ordem. Problema de Cauchy. Teorema de Cauchy-Kowalevski. Equações de segunda ordem clássicas e problemas de fronteira. Generalizações a sistemas e equações de ordem superior. Problemas bem postos.
Bibliografia básica:
1) John, F. Partial differential equations. Vol. 1. Springer, 1981.
2) Smirnov, M. M. Second-order partial differential equations. Noordhoff, 1966.

MAT2915 - TEORIA MODERNA DAS EDPS ELÍPTICAS DE SEGUNDA ORDEM - SOLUÇÕES CLÁSSICAS E FORTES
Ementa: Princípio do máximo para EDPs elípticas lineares de segunda ordem. Estimativas a priori de Schauder. Princípio de compacidade para sequências de soluções de EDPs elípticas. Teorema de existência para o problema de Dirichlet clássico para EDPs elípticas lineares de segunda ordem - método de Perron (método de sub- e super-soluções). Príncipio de máximo de Alexandrov-Bakelman-Pucci. Aplicações à teoria das solubilidade e regularidade das soluções de EDPs gerais - teoria de Krylov-Safonov. Primeiro autovalor de um operador elíptico, princípio do máximo. Aplicacões na teoria qualitativa: os moving planes de Alexandrov, simetria das soluções positivas de EDP elípticas.
Bibliografia básica:
1) Gilbarg, D.; Trudinger, N.S. Elliptic partial differential equations of second order. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
2) Evans, L.C. Partial differential equations. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010.
3) Han, Qing; Lin, Fanghua. Elliptic partial differential equations. Second edition. Courant Lecture Notes in Mathematics, 1. Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2011.

MAT2916 - TEORIA MODERNA DAS EDPS ELÍPTICAS DE SEGUNDA ORDEM - SOLUÇÕES FRACAS
Ementa: Espaços de Sobolev. Soluções fracas de EDPs elípticas de forma divergente nos espaços de Sobolev. Solubilidade de EDPs elípticas lineares da forma divergente e regularidade das soluções fracas. Métodos tipo bootstrap para a regularidade das soluções fracas de EDP não lineares. Caracterização variacional dos autovalores de um operador elíptico linear de segunda ordem auto-adjunto. Formulação variacional das soluções de EDPs em forma divergente. Métodos de procura de pontos críticos - minimização direta, teoremas de tipo mountain pass e linking. Solução fraca de viscosidade de uma EDP elíptica. Existência e regularidade das soluções de viscosidade de EDP elípticas gerais não lineares.
Bibliografia básica:
1) Gilbarg, D.; Trudinger, N.S. Elliptic partial differential equations of second order. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
2) Evans, L.C. Partial differential equations. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010.
3) Han, Qing; Lin, Fanghua. Elliptic partial differential equations. Second edition. Courant Lecture Notes in Mathematics, 1. Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2011.
Bibliografia complementar:
1) Willem, M. Minimax theorems. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 24. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996.
2) Struwe, M. Variational methods. Applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems. Fourth edition. A Series of Modern Surveys in Mathematics, 34. Springer-Verlag, Berlin, 2010.
3) Caffarelli, L.A.; Cabré, X. Fully nonlinear elliptic equations. American Mathematical Society Colloquium Publications, 43. American Mathematical Society, Providence, RI, 1995.
4) Crandall, M.G.; Ishii, H.i; Lions, P.-L. User's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 27 (1992), no. 1, 1–67.

MAT2917 - MÉTODOS DE ANÁLISE NÃO LINEAR COM APLICAÇÕES
Ementa: Teorema do ponto fixo de Schauder para aplicações compactas. Alternativa não linear de Leray-Schauder. Teorema do ponto fixo de Leray-Schauder. Existência de soluções de equações elípticas quasilineares dependendo de estimativas a priori da altura e do gradiente. Princípio do máximo para equações elípticas não lineares de segunda ordem. Estimativas a priori da altura e do gradiente no bordo para equações de curvatura média constante em vários espaços ambientes. Aplicações para problemas de Dirichlet para domínios limitados com dados suaves no bordo. Método de Perron e aplicações a problemas de Dirichlet para domínios não limitados e dados contínuos.
Bibliografia básica:
1) Gilbard, D.; Trudinger, N. Elliptic partial differential equations of second order. Springer, 2001.
2) Granas, A.; Dugundji, J. Fixed point theory. Springer, 2010.
3) Agarwal, R.; Meegan, M.; O'Regan, D. Fixed point theory and applications. Cambridge University Press, 2004.
Bibliografia complementar:
1) Barbosa, J.L.M.; Sá Earp, R. Prescribed mean curvature hypersurfaces in Hn+1 with convex planar boundary II. Seminaire de théorie spectrale et géométrie de Grenoble, volume 16, 43-79 (1998).

MAT2920 - INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DINÂMICOS
Ementa: Conceitos básicos: pontos periódicos, transitividade, minimalidade. Exemplos: contrações, aplicações lineares, rotações, fluxos gradiente, aplicações Morse-Smale. Número de rotação: exemplo e teorema de Denjoy, classificação de Poincaré. Aplicações expansoras. Dinâmica simbólica; mixing topológico. Mais exemplos: shifts, ferradura de Smale, automorfismos do toro. Fluxo geodésico e horocíclico em superfícies. Kneading theory.
Bibliografia básica:
1) Brin, M.; Stuck, G. Introduction to Dynamical Systems. Cambridge University Press, 2002.
2) Hasselblatt, B.; Katok, A. A First Course in Dynamics: with a Panorama of Recent Developments. Cambridge University Press, 2003.
3) Devaney, R. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. 2nd ed. Westview Press, 2003.

MAT2921 - DINÂMICA HIPERBÓLICA
Ementa: Pontos periódicos hiperbólicos, estabilidade. Teoria local para órbitas periódicas: teorema de Hartman-Grobman, teorema da variedade estável, robustez e estabilidade local de pontos hiperbólicos. Difeomorfismos Morse-Smale. Conjuntos hiperbólicos; exemplos: Anosov linear, atrator de Plykin, solenóide. Lambda-lema, pontos homoclínicos transversais e existência de ferraduras, dinâmica simbólica. Teorema da variedade estável, expansividade, lema do sombreamento, closing lemma de Anosov, estabilidade de conjuntos hiperbólicos. Teoria global: estabilidade estrutural de sistemas Morse-Smale, ciclos e filtrações, teorema da omega-estabilidade para sistemas Axioma A sem ciclos, exemplos de omega-explosões.
Bibliografia básica:
1) Brin, M.; Stuck, G. Introduction to Dynamical Systems. Cambridge University Press, 2002.
2) Shub, M. Global Stability of Dynamical Systems. Springer-Verlag, 1987.

MAT2922 - TEORIA ERGÓDICA
Ementa: Medidas invariantes; a topologia fraca e existência de probabilidades invariantes para aplicações contínuas. Exemplos. Recorrência e ergodicidade: teorema de recorrência de Poincaré, versões topológica e métrica. Teorema de Birkhoff. Ergodicidade, ergodicidade única, e mixing. Exemplos: shifts, rotações e aplicações expansoras do círculo, automorfismos do toro, exemplo de Furstenberg, fluxos geodésico e horocíclico em superfícies. Teorema da decomposição ergódica. Entropia: entropia métrica e topológica: partições geradoras, teorema de Kolmogorov-Sinai.
Bibliografia básica:
1) Mañé, R. Teoria Ergódica. Projeto Euclides, IMPA, 1983.
2) Petersen, K. Ergodic Theory. Cambridge University Press, 1990.
3) Walters, P. An Introduction to Ergodic Theory. Springer, 2007.

MAT2923 - INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS CONSERVATIVOS
Ementa: Geometria dos espaços lineares simpléticos. Teorema de Darboux para formas simpléticas e de contacto. Teoria não-linear de espaços simpléticos e introdução a teoria simplética. Introdução à geometria lagrangeana. Teoremas de A. Weinstein e de A. Givental sobre vizinhanças tubulares simpléticas e germes de variedades lagrangeanas. Aplicações momento e teoria de redução. Interpretação geométrica do cálculo de variações clássico em uma dimensão. Sistemas dinâmicos conservativos: sistemas lagrangeanos e hamiltonianos. Simetrias e leis de conservação. Aplicações em mecânica clássica, ótica geométrica e sistemas integráveis.
Bibliografia básica:
1) Moser, J., Zehnder, E.J.: Notes on dynamical systems. Courant Lecture Notes in Mathematics, 12 (2005).
2) Arnold, V.I.: Mathematical Methods of classical mechanics. Graduate Texts in Mathematics, 60, Second edition, Springer-Verlag (1989).
3) Cannas, A.: Lectures on symplectic geometry. Lecture Notes in Mathematics, 1764, Springer-Verlag (2001).
Bibliografia complementar:
1) Paternain, G.: Geodesic flows. Progress in Mathematics, 180. Birkhäuser (1999).