Desigualdades sistólicas: um rico universo na interseção entre geometria e dinâmica.
Expositor:Umberto Hryniewicz
Instituição: UFRJ
Data e Horário: 22/09/2017 | 10:00hs

RESUMO: De acordo com Gromov, "Loewner made an amazing discovery around 1949". A descoberta à qual Gromov se refere, devido ao matemático alemão Charles Loewner, é a seguinte desigualdade sistólica: "em qualquer 2-toro riemanniano, o comprimento da curva não-contrátil mais curta é menor ou igual que a raiz quadrada da área vezes uma constante universal". Loewner ainda dá a constante explicitamente, e mostra que a geometria fica determinada quando a desigualdade é igualdade. Esse foi o início do que se entende hoje por geometria sistólica, uma área bastante divulgada por matemáticos como Thom, Berger, Gromov, entre outros. Recentemente ficou claro que desigualdades sistólicas têm interpretação natural no contexto de geometria de contato (Alvarez Paiva-Balacheff) e que esse ponto de vista permite atingir resultados novos não-triviais. Eu gostaria, nesta palestra informal, de discutir alguns problemas básicos e também alguns resultados, como a confirmação da conjectura (Babenko-Balacheff) de que a geometria redonda na 2-esfera maximiza razões sistólicas localmente, e a refutação da conjectura (Hutchings) de que razões sistólicas de formas de contato são limitadas superiormente. Além disso, se o tempo permitir, apresentarei uma cota superior ótima para a razão sistólica de 2-esferas riemannianas de revolução. Todos esses enunciados estão intimamente ligados com uma importante conjectura devido a Viterbo. Esses resultados são em colaboração com Abbondandolo, Bramham e Salomão.