Teses e Dissertações


Doutorado

Diego Soares Monteiro da Silva

Orientador: Carlos Tomei
Título da Tese: Um método de continuação estruturado para problemas com múltiplas soluções
Defesa: 30/09/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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Um método de continuação estruturado para problemas com múltiplas soluções

Seja F uma função definida entre dois espaços de Banach X e Y. Dado um ponto g na imagem Y. Desenvolvemos um algoritmo para calcular soluções u da equação F(u)=g. Partimos de uma curva c em X cuja interseção com o conjunto crítico de F nos leva a um grafo completamente espelhado dado por uma componente conexa da imagem inversa de F(c). O conjunto é obtido usando métodos de continuação apropriados, inclusive através de dobras, e, se c é bem escolhida, contém diversas soluções. Propomos também processos que estendem esta componente conexa em busca de ainda outras soluções. O algoritmo é demonstrado inicialmente em uma situação em que visualização e possível (uma função do plano no plano), depois em discretizações de operadores não lineares de Sturm-Liouville com grande número de soluções, e finalmente em operadores elípticos semi-lineares.

Luis Antônio Gomez Ardila

Orientador: Carlos Tomei
Título da Tese: Deep Morin Singularities of the McKean-Scovel Operator
Defesa: 29/09/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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Deep Morin Singularities of the McKean-Scovel Operator

The McKean-Scovel operator is the simplest nonlinear Sturm-Liouville operator acting on functions satisfying Dirichlet boundary conditions: its nonlinearity is just taking the square of the incoming function. This text contains a proof of a conjecture from the late ´80: its critical set consists only of Morin singularities, which attain arbitrary depth.

Fabiola Valéria Cordero Uriona

Orientador: Sergey Galkin
Título da Tese: Estudo comparativo dos sistemas integráveis nos espaços de polígonos, matrizes e fibrados
Defesa: 24/09/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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Estudo comparativo dos sistemas integráveis nos espaços de polígonos, matrizes e fibrados

O Espaço de Polígonos em termos simpléticos é definido como o quociente da imagem inversa do mapa momento no zero pela ação hamiltoniana de um grupo de Lie para uma variedade simplética dada. Neste trabalho comparamos uns sistemas integráveis definidos nos diferentes espaços de módulos de polígonos, matrizes e fibrados, tais como sistema de Kapovich-Millson, modelo de Gaudin e aplicação de Hitchin.

Thiago de Menezes Duarte e Silva

Orientador: Sinésio Pesco
Título da Tese: Evaluating the impact of the inflation factors generation for the ensemble smoother with multiple data assimilation
Defesa: 13/08/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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Evaluating the impact of the inflation factors generation for the ensemble smoother with multiple data assimilation

The ensemble smoother with multiple data assimilation (ES-MDA) gained much attention as a powerful parameter estimation method. The main idea of the ES-MDA is to assimilate the same data multiple times with an inflated data covariance data error. In the original ES-MDA implementation, these inflation factors, such as the number of assimilations, are selected a priori. The only requirement is that the sum of the inflation factors’ inverses must be equal to one. Therefore, selecting them equal to the number of assimilations is a straightforward choice. Nevertheless, recent studies have shown a relationship between the ES-MDA update equation and the solution to a regularized inverse problem. Hence, the inflation factors play the role of the regularization parameter at each ES-MDA assimilation step. As a result, they have also suggested new procedures to generate these elements based on the discrepancy principle. Although several studies proposed efficient techniques to generate the ES-MDA inflation factors, an optimal procedure to generate them remains an open problem. Moreover, the studies diverge on which regularization scheme is sufficient to provide the best ES-MDA outcomes. Therefore, in this work, we address the problem of generating the ES-MDA inflation factors and their influence on the method’s performance. We present a numerical analysis of the influence of such factors on the main parameters of the ES-MDA, such as the ensemble size, the number of assimilations, and the ES-MDA vector of model parameters update. With the conclusions presented in the aforementioned analysis, we propose a new procedure to generate ES-MDA inflation factors based on a regularizing scheme for Levenberg-Marquardt algorithms. It is shown through a synthetic two-dimensional waterflooding problem that the new method achieves better model parameters and data match compared to the other ES-MDA implementations available in the literature.

Edison Fausto C. Huamani

Orientador: Edgard Pimentel
Título da Tese: Existence and regularity of solutions: nonlocal and nonlinear models
Defesa: 29/07/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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Existence and regularity of solutions: nonlocal and nonlinear models

We consider two classes of partial differential equations. Namely: the radiative transfer equation and a doubly nonlinear model. The former concerns a nonlocal problema, driven by a scattering operator. We study the well-posedness of solutions in the peaked regime, for the half-space. A new averaging lemma yields interior regularity for the solutions and improved fractional regularization for the time derivatives. The second model we examine is a Trudinger equation with distinct nonlinearities degrees. Inspired by ideas launched by L. Caffarelli, we resort to approximation methods and prove improved regularity results for the solutions. The strategy is to relate our equation with p-caloric functions.

Marcelo Santos Silva

Orientador: David Torres
Título da Tese: Uma deformação de estrutura Poisson em variedade tórica e considerações cohomológicas
Defesa: 30/04/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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Uma deformação de estrutura Poisson em variedade tórica e considerações cohomológicas

O estudo de deformações e degenerações de estruturas de Poisson é parte do marco clássico de análise de degenerações de estruturas geométricas. Nesta tese como resultado principal construímos uma deformação não trivial na qual a estrutura quadrática canônica do espaço projetivo complexo n-dimensional é limite contínuo de estruturas Kahlerianas. Além disso, como resultado secundário de estudos de deformações mostramos que uma estrutura Poisson invariante numa variedade tórica com número finito de folhas não pode ser exata na cohomologia Poisson. Nosso estudo também inclui considerações sobre cohomologia Poisson da estrutura quadrática canônica do espaço vetorial complexo n-dimensional.

Anderson Reis Vargas

Orientador: Marcos Craizer
Título da Tese: Asymptotic Nets with Constant Affine Mean Curvature
Defesa: 29/04/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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Asymptotic Nets with Constant Affine Mean Curvature

Discrete Differential Geometry aims to develop a discrete theory which respects fundamental aspects of smooth theory. With this in mind, some results of smooth theory of Affine Geometry are firstly introduced since their discrete counterparts shall be treated a posteriori. The first goal of this work is to construct a discrete affine structure for nets with indefinite Blaschke metric and asymptotic parameters. For this purpose, one defines a conormal vector field , which satisfies Lelieuvre’s equations and it is associated with a real parameter ; and an affine normal vector field , which defines the cubic form of the net and makes the structure well defined. Settled the structure down, one presents the discrete affine minimal surfaces which have a beautiful geometrical characterization.
This structure also allow to study ruled surfaces with emphasis on improper affine spheres, which are proved to be equiaffinely congruent to the graph of , for some real function . Moreover, it is proposed a definition for singularities in the case of discrete improper affine spheres from the center- chord construction. Another goal here is to propose a definition for an asymptotic net with constant affine mean curvature (CAMC), in a way that encompasses discrete affine minimal surfaces and discrete affine spheres. This work is completed with the main result about a discrete version of Cayley surfaces, which are ruled improper affine spheres that can be characterized by the induced connection as: an asymptotic net with CAMC is equiaffinely congruent to a Cayley surface if and only if the cubic form C does not vanish and the affine induced connection is parallel.

Mestrado

Jéssica Andreza M. dos Santos

Orientador: Boyan Sirakov
Título da Tese: Desigualdade de Harnack e Estimativas de Holder para Equações Elípticas de Segunda Ordem
Defesa: 07/07/2021 | Abstract | Tese/Dissertação

Desigualdade de Harnack e Estimativas de Holder para Equações Elípticas de Segunda Ordem

Nesta dissertação estudam-se a desigualdade de Harnack e as estimativas de Holder, para um operador elíptico de segunda ordem, na forma geral não divergente e na forma divergente.

Handel Scholze Marques

Orientador: Simon Griffiths
Título da Tese: Combinatorial Games and the neighborhood conjecture
Defesa: 30/04/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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Combinatorial Games and the neighborhood conjecture

Combinatorial Games is the study of games with perfect information, this means that all players have knowledge of all possible moves, also there isn't luck or skill involved in performing a move, so, in theory, perfect play is possible. Examples of games like these are tic-tac-toe, chess, checkers, nim... the list goes on. In this dissertation we focus on the Maker-Breaker game, it has two players who each sequentially pick a vertex from a hypergraph, the goal of Maker is to claim all vertices of an edge, the goal of Breaker is to prevent this. We study in which types of hypergraph Maker or Breaker wins and what are the winning strategies. In particular, we consider how this question is related to the degrees of vertices in the hypergraph. We make use of Probability Theory, general Graph Theory, Satisfiability problems and more.

Isabela Vasconcellos Viana

Orientador: Sinésio Pesco
Título da Tese: An Analytical Model for Injectivity Tests in Multilayered Reservoir with Crossflow
Defesa: 16/04/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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An Analytical Model for Injectivity Tests in Multilayered Reservoir with Crossflow

An injectivity test consists of injecting a phase, usually water, into an oil reservoir in order to collect information about it. Knowing these reservoir's parameters can be valuable in order to improve oil production. Many studies have been presented regarding the behavior of pressure in multilayered reservoirs under single phase fluid flow and, also, during injectivity tests. However, an analytical solution for pressure behavior in multilayered reservoirs during injectivity tests is well known only when the formation crossflow is not considered. Therefore, the present work attempts to develop an analytical model in the Laplace space for multilayered radially composite reservoirs with formation crossflow under single phase fluid flow, and then, for multilayered reservoirs with formation crossflow under two phase fluid flow.

Camila Sobrinho Crispim

Orientador: Lorenzo Justiniano Díaz Casado
Título da Tese: Dinâmicas minimais em conjuntos de Cantor e diagramas de Bratteli
Defesa: 31/03/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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Dinâmicas minimais em conjuntos de Cantor e diagramas de Bratteli

Um diagrama de Bratteli $\mathfrak{B}$ é um objeto combinatório representado por um grafo dividido em infinitos níveis, cada um com número finito de vértices e de arestas entre vértices de níveis consecutivos. Além disso, todo vértice possui ligação com vértices dos níveis precedente e sucessor.

Estudamos, do ponto de vista topológico, o espaço dos caminhos infinitos formados pelas arestas de um diagrama de Bratteli, denotado por $X_{\mathfrak{B}}$. Estabelecemos uma relação de equivalência neste espaço, denominada relação AF. Quando é possível definir uma ordem parcial em $X_{\mathfrak{B}}$ o diagrama de Bratteli é dito ordenado; neste caso, definimos um homeomorfismo em $X_{\mathfrak{B}}$ denominado de função de Bratteli-Vershik. Associada a esta função estabelecemos uma relação de equivalência orbital. Consideramos sistemas dinâmicos minimais definidos em conjuntos de Cantor e associamos a estas dinâmicas diagramas de Bratteli ordenados.

Uma relação de equivalência é dita "étale" quando admite uma topologia gerada por uma ação local. Dois exemplos são a relação de equivalência AF e a relação orbital. Dada uma relação de equivalência "étale" $R$ em um espaço $X$, definimos um invariante algébrico $D(X,R)$. Construímos o grupo de dimensão de um diagrama de Bratteli. Provamos, então, que dado um diagrama de Bratteli $\mathfrak{B}$, seu grupo de dimensão é isomorfo a $D(X_{\mathfrak{B}},R_{\mathfrak{B}})$, onde $R_\mathfrak{B}$ é relação AF de $\mathfrak{B}$. Finalmente, estudamos sob quais condições um grupo abeliano ordenado é o grupo de dimensão de um diagrama de Bratteli.

Esta dissertação é baseada no livro de Ian F. Putnam "Cantor minimal systems", publicado em University Lecture Series, 70. American Mathematical Society, Providence, RI, 2018. .

Luiz Henrique Arêas Peres

Orientador: Carlos Tomei
Título da Tese: Análise de Mecanismos de Venda de Títulos para o Financiamento Público: Uma Análise sob a Ótica da Teoria de Leilões
Defesa: 25/03/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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Análise de Mecanismos de Venda de Títulos para o Financiamento Público: Uma Análise sob a Ótica da Teoria de Leilões

Este trabalho tem por objetivo analisar uma das formas de financiamento da República Federativa do Brasil: a venda de títulos de dívida pública. Para isso serão analisadas diversas informações oficiais dos órgãos competentes relacionadas às regras que permeiam este tipo de negociação. Diante destas informações o autor propõe uma modelagem matemática para descrever tais operações. Além disso, também possui o objetivo de apresentar um modelo teórico que possua semelhanças com os leilões de venda de títulos do Tesouro Nacional, para assim ser possível avaliar se o formato adotado no Brasil encontra respaldo teórico.

Marcelo Durães Capeleiro Pinto

Orientador: Silvius Klein
Título da Tese: Hölder continuity for Lyapunov exponents of random linear cocycles
Defesa: 25/03/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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Hölder continuity for Lyapunov exponents of random linear cocycles

A compactly supported probability measure on a group of matrices determines a sequence of i.i.d. random matrices. Consider the corresponding multiplicative process and its geometric averages. Furstenberg-Kesten's theorem, the analogue of the law of large numbers in this setting, ensures that the geometric averages of this multiplicative process converge almost surely to a constant, called the maximal Lyapunov exponent of the given measure. This concept can be reformulated in the more general context of ergodic theory using random linear cocycles over the Bernoulli shift.

A natural question concerns the regularity properties of the Lyapunov exponent as a function of the data. Under an irreducibility condition and in a specific setting (which was later generalized by various authors) Le Page established the Hölder continuity of the Lyapunov exponent. Recently, Baraviera and Duarte obtained a direct and elegant proof of this type of result. Their argument uses Furstenberg's formula and the regularity properties of the stationary measure.

Following their approach, in this work we obtain a new result showing that under the same irreducibility hypothesis, the Lyapunov exponent depends Hölder continuously on the measure, relative to the Wasserstein metric, thus generalizing the result of Baraviera and Duarte .

Giovanna Luisa Coelho Leal

Orientador: Nicolau Corção Saldanha
Título da Tese: A realização de alguns subgrupos discretos do grupo Spin na álgebra de Clifford
Defesa: 08/03/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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A realização de alguns subgrupos discretos do grupo Spin na álgebra de Clifford

A álgebra de Clifford $\Cl_{n+1}^{0}$ é uma álgebra associativa que pode ser realizada matricialmente. O grupo $\spin_{n+1}$ é uma superfície contida em $\Cl_{n+1}^{0}$ e fechada por multiplicação. Estudamos os geradores de tal grupo, assim como dos grupos de matrizes $\quat_{n+1}$ e $\tilde{\Bn}_{n+1}^{+}$ que são subconjuntos de $\spin_{n+1}$. Uma permutação em $\Sn_{n+1}$, pode ser expressa como uma palavra reduzida, por meio de geradores de Coxeter. Os mapas acute e grave nos fornecem elementos em $\tilde{\Bn}_{n+1}^{+}$, a partir das palavras reduzidas de uma permutação em $\Sn_{n+1}$.Um elemento da álgebra de Clifford $\Cl_{n+1}^{0}$ pode ser escrito como uma combinação linear de elementos em $\quat_{n+1}$, onde o coeficiente independente é conhecido como parte real. Estudamos resultados que relacionam as características de uma permutação em $\Sn_{n+1}$, com o elemento a ela relacionado em $\Cl_{n+1}^{+}$

Guilherme Brandão Guglielmo

Orientador: David Martínez Torres
Título da Tese: Cohomologia de Fibrados Flag Homogêneos
Defesa: 26/02/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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Cohomologia de Fibrados Flag Homogêneos

Esta dissertação tem como objetivo exibir uma fórmula para calcular o anel de cohomologia de um fibrado flag homogêneo de um grupo de Lie G compacto e conexo. Para concluir o resultado é usado a cohomologia equivariante, em particular, sua abordagem mais algébrica. Isto implica introduzir G*-módulos e sua teoria equivariante, o que passa também por introduzir a álgebra de Weil, o modelo de Cartan e o homomorfismo característico. A demonstração do resultado também está fortemente baseada nas propriedades algébricas dos toros maximais de G.

Luize Mello D´ Urso Vianna

Orientador: Nicolau Corção Saldanha
Título da Tese: Transformações de Cremona como Isometrias Hiperbólicas
Defesa: 26/02/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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Transformações de Cremona como Isometrias Hiperbólicas

Transformações de Cremona são simplesmente aplicações birracionais do Plano Projetivo nele mesmo. O grupo dessas transformações é conhecido como o Grupo de Cremona. Pelo Teorema de Nöether-Castelnuovo (final do século XIX), o Grupo de Cremona é gerado pelos automorfismos do Plano Projetivo e pela Transformação Quadrática Padrão Φ dada por (x∶ y∶ z) ↦ (yz∶ xz∶ xy). Mas apesar de compreendermos bem o grupo de automorfismos do Plano Projetivo, ao acrescentarmos o elemento Φ, o grupo gerado fica bem mais complicado. Somente em 2013, Cantat e Lammy provaram que o Grupo de Cremona não é simples no caso de um corpo algebricamente fechado. Em 2016, Anne Lonjou provou o mesmo para qualquer corpo. Ambas as provas se baseiam em uma ação por isometrias do Grupo de Cremona em um espaço hiperbólico de dimensão infinita. Nosso objetivo será entender essa ação e algumas consequências envolvendo o Grupo de Cremona.

Raphael de Marreiros C. Machado

Orientador: Nicolau Corção Saldanha
Título da Tese: Domino tilings of 3D cylinders and regularity of disks
Defesa: 25/02/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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Domino tilings of 3D cylinders and regularity of disks

In this dissertation we study domino tilings of three-dimensional regions. In particular, we consider the flip connectivity problem for cylinders, i.e., regions of the form D x [0,N]. A flip is a local move: two adjacent dominoes are removed and placed back in a different position. In two dimensions, two domino tilings of the same contractible region are connected by flips. In dimension 3, the problem is subtler. We present the twist, a flip invariant that associates a tiling with an integer number. For many 3D regions, there exist examples of tilings with the same twist which can not be joined by a sequence of flips. Recent papers prove that for certain disks D, called regular, two tilings of the cylinder D x [0,N] with the same twist can almost always be joined by a sequence of flips. Equivalently, a disk D is regular if two tilings of a cylinder of basis D with the same twist can be joined by flips provided that some extra vertical space is allowed. These results are presented and discussed. We then prove regularity or irregularity for new families of quadriculated disks. It turns out that a bottleneck often implies irregularity.

Victor D ́Angelo Colacino

Orientador: Simon Griffiths
Título da Tese: Taxa de convergência do Teorema Central do Limite para a expressão martingal de desvio da contagem de subgrafos livres de triângulos em grafos aleatórios G(n,m)
Defesa: 28/01/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
Defesa realizada por meio remoto

Taxa de convergência do Teorema Central do Limite para a expressão martingal de desvio da contagem de subgrafos livres de triângulos em grafos aleatórios G(n,m)

Nessa dissertação vamos introduzir, elaborar e combinar ideias da Teoria de martingais, a Teoria de grafos aleatórios e o Teorema Central do Limite. Em particular, veremos como martingais podem ser usados para representar desvios de contagem de subgrafos. Usando esta representação e o Teorema Central do Limite para martingais, conseguiremos demonstrar um Teorema Central do Limite para a contagem de subgrafos livres de triângulos no grafo aleatório Erdős-Rényi G(n,m). Além disso, nossa demonstração também nos trará informação sobre a taxa de convergência, mostrando que a distribuição dos desvios converge rapidamente para a distribuição normal

Fernando Silva Braga

Orientador: Boyan Sirakov
Título da Tese: Existência, Unicidade e Estabilidade de Soluções de Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias
Defesa: 07/01/2021 | Abstract | Tese/Dissertação
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Existência, Unicidade e Estabilidade de Soluções de Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias

Esta dissertação tem o objetivo de aplicar os conceitos e ferramentas da Análise Real e Álgebra Linear num estudo sobre a teoria de existência, unicidade e estabilidade de soluções de sistemas de equações diferenciais ordinárias, considerando sistemas gerais parametrizados, lineares e não-lineares.

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